T s s c

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: a, b] → Rn Ö× ÐÖ Ò ×Ñ ÐÐØ Ð ÒÐ Ò ×Ø Ö Ðº ÄÒ ÓÖÑ ÐÙÒÒ b s= a |v(t)| dt. r : [a, b] → Rn ½º½¼ Ë Ð Ö Ò Ò Ó ÙÑÖ ×Ø ÒÒ Ö Ðº Ë Ø Ö ×Ø º Ð Ö Ä ØÙÑ Ö ÐÐ ÒÒ × ×Ø ÙÖ Ñ Ó ÐÒ ÚÖ ×Ñ ÝÖ Ö ÐÐØ Ð ÒÐ Ò ÐÐ Ö Ø ÐÙÖ t1 , t2 a ≤ t1 < t2 ≤ b t2 t2 − t1 = ´Ë ÐÝÖ Ó Ð × ËØ Ö ÐÒ ×Ø Ó ÐÒ Ö Ð× Ò× Ñ Ð t1 |v(t)| dt. r(t1 ) Ñ Ó Ñ ÐÐ ÔÙÒ Ø r(t2 ) ÒÐ × Ò ÑÙÒ ÒÙÑ t2 ÐÐ t1 ºµ ÙÒ Ñ tº |v(t)| = 1 ÝÖ Ö ¾º Ò Ö ¾¼¼ ¾ Ê ÒÚ Ð ÙÖ º Å ÐÐ Ö ËØ Ö Ö ¾º ÖÐ Ö ÔÐ Ò Ó Ö Ò Ò ÁÁ Ô Ð Ò Øº ÔÐ Ò º Ö ÓÖÒ Ø Ð×Ø ¾º½ Ë Ð Ö Ò Ò º Ä ØÙÑ [r, θ] ÒÒ r Ö ÖÐ x¹ ×× Ò׺ ´ÀÓÖÒ Ö Ñ ÐØ θ ÐÑ Ö Ð 2π ºµ P = (x, y ) = 0 ÔÙÒ Ø P Ö O = (0, 0) Ó θ ÒÒ ÖÒ× Ð × ×Ø Ò È Ð ÒØ P Ñ ÐÐ ×ØÖ Ú ¸Ó Ð Ö Ø ÐÒ Ô Ö × Ò× OP Ñ Ó Ú Ø Ò ÙÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø × ¾º¾ Ê Ð º Ô Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø× ÖØ × Ò ÓÓÖ Ò Ø ×µ Ñ Ó ÒÒ Ó ÔÐ Ò ÖÙ [r, θ] Ñ Ö Ò xy ¹ ÒØ Ò× ´ º Ö ¹ ÓÖÑ ÐÙÒÙÑ x = r cos θ Ú ÙÑ y = r sin θ. Ô Ð ÒØÒ ØÖ ÒÙÒÙÑ xy ¹ Ò Ø ÔÙÒ Ø× Ñ r= ´ x2 + y 2 y>0 Ò tan θ = y . x ÒÒ Ò x=0 ØÐ Ñ Ø θ= θ ÒÓØÙ ÚÖ π 2 ÖØ Ò Ð Ù×Ò x < 0ºµ θ = −π y < 0º Ö 2 π π Ñ ÐÐ − Ó x>0 2 2 f ÚÖ ÐÐ ×Ø Ñ ÐÐ × ÐÖ ÒØ ÝÖ Ö tan θ = π Ó 2 y x Ñ ÐÐ Ö 3π 2 ¾º¿ Ë Ð Ö Ò Ò Ó ÙÑÖ θ ≤ βº Â [f (θ), θ] È Ð ÒØ ÒÒ Ö Ö× Ñ Ö º Ò ØØ Ä ØÙÑ ÐÐÖ ÑÒ ×Ø θ fº ÒÒ r = f (θ) Ð × Ö Ñ α ≤ θ ≤ βº Ö ÐÐ ÔÙÒ Ø Ô Ð ÒØ Ö ×Ø ÔÐ Ò ÒÙ × Ñ ÖÐ ÒÙÑ Ô Ð ÒØ ÐÐ× Ò× ÓÖÑ ÒÙ α≤ ÔÐ Ò ÒÙ × Ñ Ñ r : [α, β ] → R2 Ñ ÓÖÑ ÐÙ r(θ) = [f (θ), θ] = (f (θ) cos θ, f (θ) sin θ). ¾º Ë ØÒ Ò º f × Ú r = f (θ) Ú Ö Ô Ð Ò Ø Ð ÒРغ Ä ØÙÑ r(θ ) Ø Ò ×Ø ÙÒ Ò ′ ÙÖ ÒÒ r (θ ) = 0 ÙÖ ×× Ú ÙÖ ×Ø Ä ØÙÑ Ö Ò ÐÐ Ø ÐÙ ×Ò ÖØ Ð× Ú Ð Ø ÖÑ Ð ×Ú Ó Ô Ð ÒØ × Ò× × Ñ Ö Ö ÐÐ× Ò× Ô Ð ÒØ Ö ×Ø ×Ñ º f Ó Ö ÖÙÑ Ö ÒÙ × Ñ Ô Ð ÒØ Ö ÝÖ Ö Ö ÒÒÐ Ó ÐÐ ¾º¿º ØÖ ÒÙ ×Ò ÖØ Ð× Ú r′ (θ) Ñ ¾º Ë ØÒ Ò º α≤β Ó ÑÖ ×ÐÙÒÙÑ ÐÐص Ö θ=α Ó θ=β ´Ñ β − α ≤ 2π µ Ô Ð ÒØ r = f (θ) ´f 1 r dθ = 2 2 β 1 A= 2 β α f (θ)2 dθ. α ¾º Ë ØÒ Ò º Ò× ÖÙÑ Ö Ö ÝÖ Ö Ö ÐÐ f (θ) × ÒÑ Ð ÒРغ Ó ÐÒ Ô Ð ÒØ Ö ×¹ r = f (θ)¸ α ≤ θ ≤ β¸ s= ÓÖÑ ÐÙÒÒ β f ′ (θ)2 + f (θ)2 dθ. α ¾º Ò Ö ¾¼¼ ¿ Ê ÒÚ Ð ÙÖ º Å ÐÐ Ö ËØ Ö Ö ¿º½ Ë Ð Ö Ò Ò º Ó × ÖÙÑ Ö ′ ÐÖ ÝÖ Ö ÝÖ Ö Ä ØÙÑ ¿º ÃÖ ÔÔ Ó ÚÒ Ö Ò Ò ÁÁ Ò ÙÖº Ö Ñ º Ä ØÙÑ r ÐÐ × C ÚÖ ÖÐ ÔÐ Ò r Ð ÚÖ ÒÐ ×Ø ÙÒ r (t) = 0 tµº Ò Ò Ö×Ò ÖØ Ú ÙÖ ÒÒ T ÐÐ ×Ø Ö ÐÐ ´ º...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online