F x y g x y d f x y da g x y

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Ö Ð Ø ÔÙÒ ÙÖ Ö y (s, t) ÖÙ Ø ÒÙÑ (p, q )º Ó Ñ Ø ÐÐ Ø Ø Ð × ÐÖ Ò Ö ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b) Ö ÔÙÒ Ø¹ ÖÙ ÝÖ×Ø ÒÙÑ z Ö ÝØ ÒÒ s Ó t × ÐÖ Ò (a, b) ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s Ó ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + . ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t º Ë Ð Ö ÒÒ º Ê ØÙÑ z = f (x1 , x2 , . . . , xn )º Ð z Ö× ÐÖ ÒØ × Ñ dz = df = Ð Ö Ò Ð ÙÒ ∂z ∂z ∂z dx1 + dx2 + · · · + dxn . ∂x1 ∂x2 ∂xn ∆f = f (x1 + dx1 , x2 + dx2 , . . . , xn + dxn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn ). º Ì ÒÑ Ðº Ú ÖØ Ú fi Ö ÐÐ R → Rº ÝÖ Ö ÔÙÒ Ø y = f (x) Ö × Ñ y = (y1 , y2 , . . . , ym ) Ä ØÙÑ n f : Rn → Rm Ø Ò Ú ÖÔÙÒº Ê ØÙÑ f = (f1 , . . . , fm ) Ö× Ñ n R Ö ØÙÑ Ú x = (x1 , x2 , . . . , xn )º Ë Ò Ö ØÙÑ Ó y1 = f1 (x1 , x2 , . . . , xn ), y2 = f2 (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , ym = fm (x1 , x2 , . . . , xn ). º Ë Ð Ö ÒÒ º × ÝÐ ÐÖ Ò Ö ÆÓØÙÑ Ø ÒÑ Ð × ÐÖ Ö ÒÙÑ Ú ºº ÔÙÒ Ø ÒÙÑ x Â Ó ¹ ÝÐ f ··· ··· ºº º ÐÐ Ö ÐÙØ ÔÙÒ ∂yi /∂xj ÖÙ Ø ÒÙÑ x × Ñ m × n ÙÖÒ Ö Df (x) = ∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1 º º º ∂ym ∂x1 Ö ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2 º º º ∂ym ∂x2 º Ó ··· ∂y1 ∂xn ∂y2 ∂xn º º º ∂ym ∂xn º Ë Ð Ö ÒÒ º ×Ø Ò ÔÒ Ø ÔÙÒ Ø ÒÙÑ ÆÓØÙÑ Ø Ó Ö ØÙÑ ÒÑ Ð º º Ä ØÙÑ Rn h = (h1 , h2 , . . . , hn )º Î ÖÔÙÒ Ò a = (a1 , a2 , . . . , an ) Ú f Ö× Ð ÒÐ Ö a lim h→0 |f (a + h) − f (a) − Df (a)h| = 0. |h| f × Ð ÝØØ º½¼ Ë ØÒ Ò º ÖÙÑ Ö ÔÙÒ Ø ÒÙÑ ÝÖ Ö ´Ã ÙÖ Ð Òºµ Ä ØÙÑ Ö × Ñ× Ú ÖÔÙÒ Ò f : Rn → Rm y = f (x)º g : Rm → Rk Ú ÒÐ ÔÙÒ Ø x Ó Ú ÖÔÙÒ Ò g × n k Ú ÖÔÙÒ Ò g ◦ f : R → R Ð Ó Ö ÒÐ Ú ÖÔ Ò Öº Ð ÒÐ x Ó D(g ◦ f )(x) = Dg(f (x))Df (x). ¾½º Ò Ö ¾¼¼ ½¿ Ê ÒÚ Ð ÙÖ º Å ÐÐ Ö ËØ Ö Ö º½ Ë Ð Ö Ò Ò º ÐÙØ ÙÖ Ä ØÙÑ ÐÖ Ò º ËØ Ð Öº Ö Ò Ò ÁÁ ÔÙÒ Ø Ö× Ñ Ö ÝÖ×Ø × ÑÚ ×Ø × ÔÙÒ Ø ÒÙÑ f (x, y ) Öº Ë ÚÖ ÐÖ ÐÐ Ó ÒÙÑ f ÖÙ × (x, y ) ×Ø ÙÐ f (x, y ) ÙÖ ÒÒ ∇f (x, y ) = f1 (x, y )i + f2 (x, y )j. ËØ ÙÐÐ f Ö ×ØÙÒ ÙÑ Ø ÇØ Ò ÙÖ Ñ ÖØ Ö f º¾ Ê Ø ØØÙÖº ÒØÙ Ø ∇=i ÖÐØ ×ÚÓ ∂ ∂ +j . ∂x ∂y ∇ ÙÖ ÝÖ ÖÑ Ð ÙÑ Ú Ö Ú f Î ØÐ º¿ Ë ØÒ Ò º ÙÖ ÒÒ ∇× ∇f (x, y )º ÖÙÑ Ö Ö ÙÚ Ö ÝÖ Ö ¸ º º º×º ÐÐ Ò f (x, y ) × Ð ÒÐ Ø ÙÖ ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b)º (a, b)º ∇f (a, b) ÓÖÒÖ ØØÙÖ ÖÐ ÒÙ f ×ÑÐ ÒÙÑ ÔÙÒ Ø ÒÒ º Ë ØÒ Ò º ÙÑ ÔÙÒ Ø ÒÒ ÔÙÒ Ø ÒÙÑ Ä ØÙÑ (a, b) × (a, b)º Â Ò f (x, y ) Ú Ö ÐÐ C Ö Ðк ÖÙÑ Ö ÖÙÑ ÝÖ Ö ÒÒ Ö Ò ÝÖ Ö Ö ÖÐ Ò Ò × Ñ Ð ÙÖ Ø ÔÐ Ò ÒÙº f × Ð ÒÐ ×Ò ÖØ Ð ÒÙ Ú C ÔÙÒ Ø ÒÙÑ (a, b) ÒÑ ÓÖÑ ÐÙÒÒ ∇f (a, b) · (x, y ) = ∇f (a, b) · (a, b), f1 (a, b)(x − a) + f2 (a, b)(y − b) = 0. º Ë Ð Ö ÒÒ º ÒÙÑ Ä ØÙÑ u = ui + v j ÐÖ Ò ×Ñ ÚÖ ÒÒ ÖÚ ÙÖº ËØ ÒÙ f ÔÙÒ Ø¹ (a, b) ×Ø Ò...
View Full Document

This note was uploaded on 01/31/2011 for the course MATH 203 taught by Professor Röggi during the Spring '10 term at Uni. Iceland.

Ask a homework question - tutors are online