T x t y t z f x y s x xs t x s y s

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: . . , yn ) R ÖÐ ÐÖ Ò Ò Ñ ÐÐ ÔÙÒ Ø x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y= × ÑØ Ð Ò |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 . P = (p1 , p2 , . . . , pn ) ×Ð r × Ñ Ñ Ò ÚÖ ÔÙÒ Ø º Ë Ð Ö ÒÒ º ÐÙÒ Ñ Ñ Ù Ä ØÙÑ Rn º Ë ÐÖ ÒÙÑ ÓÔÒÙ P Ó Br (P ) = {Q ∈ Rn | |Q − P | < r}. R2 ÖØ Ð Ö ÐÐ Ö ØРк Ä ØÙÑ ÙÑ ÓÔÒ × Ù ÚÖ ÐÙØÑ Ò ÓÔ ÒÒ Rn º × ×Ø ÓÔ ÒÒ Ö ÐÙ Ó R ÙÑ ÓÔ Ò º Ë Ð Ö ÒÒ º Ë Ø ÒÒ Ö ÅÒ n U Ö × Ø ÐÓ ÝÐÐ Ñ n R \ U = {Q ∈ R | Q ∈ U }ºµ U × ÓÔ Ñ Ò Br (P ) ⊆ U º U ÙÑ × Ö Ú ÖÒ ÔÙÒ Ø Ò Ö ÓÔ º´ P U Ð Ö Ö× ØÐ ÐÖ ÖØÐ r>0 ÝÐÐ Ñ Ò U ØÙÖ ÙÖ ÒØ × Ñ Ñ Ò º Ë Ð Ö ÒÒ º Ö ÓÔ Ò ØÙ Ä ØÙÑ Ð U ×ÖÚ Rn \ U º ´ U ºµ ÐÐ× Ò× UÚ Br (P ) Ö Ñ ÑÒ ÙÐ Rn º ÈÙÒ r > 0 ÒÒ Ð Ø P Rn U × Ö× Ö Ó ÙÖ ÖÔÙÒ ØÙÖ Ó ÔÙÒ Ø ÒÒ × Ö ÔÙÒ Ø U ÖÑ ÖÔÙÒ ØÙÖ U º Ë Ð Ö ÒÒ º fº D(f ) × ÐÐ ÑÒ Ö ÐÐÖ ÝÖ Ö ÐÐ Ñ f (x1 , x2 , . . . , xn ) ÓÖÑ ÐÙ Ó Ø ÖØ × ÒÖ Ø ÔÙÒ Ø Rn ÒÒ ÓÖÑ Ð Ò D(f ) × ÙÑ D (f ) ÚÐ× ÐÖ ÐÖ ÒÒ Ò ÖÑ Ò ×ÚÓ Ø ÐÙº Ð ØÙÑ Ú º Ë Ð Ö ÒÒ º Ö Ë ÒÒ ÙÑ ØÖ ÖÑ Ò × Ö Ú Ö ÓÔ Ò ÖÒ Ð ÙÑ P ÒÒ f (x1 , x2 , . . . , xn ) ×Ø Ð Ö Ä ØÙÑ f (x1 , x2 , . . . , xn ) Ú Ö ÐÐ n Ö ÝØ ×Ø Ö ÙÑ Ñ × n D(f ) ⊆ R º Ä ØÙÑ P = (p1 , p2 , . . . , pn ) Ú Ö ÔÙÒ Ø Rn ÒÒ Ð ÙÖ Ñ Ò Ö Ò ÒÒ ÔÙÒ Ø Ø Ð٠й L Ö Ö D (f )º (x1 , x2 , . . . , xn ) ×Ø ÒÖ (p1 , p2 , . . . , pn ) ÝÖ Ö × Ö Ú Ö Ö Ø ÐÙ ǫ > 0 Ö Ø Ð Ø Ð δ > 0 ÒÒ (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D(f ) Ó |(x1 , x2 , . . . , xn ) − (p1 , p2 , . . . , pn )| < δ |f (x1 , x2 , . . . , xn ) − L| < ǫ. f (x1 , x2 , . . . , xn ) ÖÖØ ×Ø ÒÖ Ø ÐÙ L Ö (x1 , x2 , . . . , xn ) ×Ø ÒÖ (p1 , p2 , . . . , pn ) (x1 ,x2 ,...,xn )→(p1 ,p2 ,...,pn ) lim f (x1 , x2 , . . . , xn ) = L. ÐÐ ØÚ ÑÙÖ ÚÖ Ö ÝØÙѺµ Ä ØÙÑ R2 ÒÒ Ð Ö º Ë Ð Ö ÒÒ º f (x, y ) Ë ÙÑ ÚÖ ÐÐ × × Ö Ú Ö ÓÔ Ò × ´Ë ÐÖ ×Ø Ò ÐÖ ÒØ ÒÒ ÑÒ ÒÒ Ø ÐÙ º × ØØ Ö Ñ ÝÖ Ö ÙÑ (a, b) D(f ) ⊆ R2 º Ð ÙÖ Ñ Ö Ö Ä ØÙÑ Ò ÒÖ (a, b) ÔÙÒ Ø ÒÒ ÔÙÒ Ø f (x, y ) ÝÖ Ö × Ö Ú Ö Ö (x, y ) ×Ø Ø ÐÙ ǫ > 0 Ö Ø Ð Ø Ð δ > 0 ÒÒ δ > |(x, y ) − (a, b)| = L Ö D (f )º (a, b) ØÖ Ö Ò (x, y ) ∈ D(f ) Ó (x − a)2 + (y − b)2 |f (x, y ) − L| < ǫ. × ÐÝÖ Ö Ó Ò Ö ÙÔÔ ÝÐÐØ ÖÖØ (x,y )→(a,b) lim f (x, y ) = L. ØÚ ÑÙÖ Ö ÝØÙѺ ÖÙÑ Ö ÝÖ Ö º½¼ Ë ØÒ Ò º Ä ØÙÑ f Ó g ÚÖ ÐÐ Ó (x,y )→(a,b) Ó ×ÖÚÖ ÖÙ × ÐÖ Ö ÒÒ ÙÑ Ð lim f (x, y ) = L ÒÒ Ð (x,y )→(a,b) Ö Ò lim g (x, y ) = M, Ö× Ñ ÐÐ Ò (a, b) Ö ÒÒ ÔÙÒ Ø f Ó ´ µ lim(x,y)→(a,b) (f (x, y) ± g(x, y)) = L ± M º ´ µ lim(x,y)→(a,b) f (x, y)g(x, y) = LM º (x,y ) L ´ µ lim(x,y)→(a,b) f (x,y) = M ¸ ×ÚÓ Ö Ñ ÖÐ × Ñ M = 0º g ´ µ lim(x,y)→(a,b) F (f (x, y)) = F (L) F Ö ÐÐ ÒÒ ÔÙÒ Ø ÒÙÑ g Òº Ö ÝØ ×Ø Ö ×Ñ Ö× Ñ ÐÐØ Lº f Ö× Ø Rn º º½½ Ë Ð Ö...
View Full Document

This note was uploaded on 01/31/2011 for the course MATH 203 taught by Professor Röggi during the Spring '10 term at Uni. Iceland.

Ask a homework question - tutors are online