2005 Calc Final

2005 Calc Final - ½ ´¾ µ ½º Ð ÙÐ Ø Ø ÓÐÐÓÛ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ½ ´¾ µ ½º Ð ÙÐ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ñ Ø׺ Ú Ö Ö Ö Ò ØÓ Ð ÙÐ ØÓÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö Ô Ò º ´ µ ÐÑ Ü¾ Ü ¿ Ü ¿ Ù×Ø ¬ Ø ÓÒ Ó ÝÓÙÖ Ò×Û Ö× Û Ø ÓÙØ Ö×Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ´Ü ¿µ´Ü · ¿µ Ü¿ ´Ü ¿µ Ë ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ù× Ò Ä³ÀÓÔ Ø Ð³× ÊÙÐ ÐÑ ¾Ü Ü ¿½ ÐÑ Ü ÐÑÜ·¿ ¿ ´ µ ÐÑ × Ò ¿Ü Ü ¼ Ø Ò ¾Ü × Ò ¿Ü ¿ ¾ × Ò ¿Ü ¿Ü × Ò ¾Ü ¾Ü Ö×Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ Ü ÐÑ ¼ × Ò ¾Ü Ó× ¾Ü Ü Ð Ñ Ó× ¾Ü ¼ ½ ¿ ¾ ¿ ¾ ½ ½ ¿ ¾ Ë ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ü ÐÑ ¼ × Ò ¾Ü Ó× ¿Ü × Ò ¿Ü Ü Ð Ñ Ó× ¾Ü ¼ × Ò ¿Ü × Ò ¾Ü ¿ ¾ Ì Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ Ù× Ò Ä³ÀÓÔ Ø Ð³× ÊÙÐ ¿ Ó× ¿Ü Ü ¼ ¾ × ¾ ¾Ü ÐÑ ´ µ ÐÑ Ü · Ü¿ · ¾Ü¾ · ½¼ Ü ½ Ü · Ü¿ · ¾Ü · ½ ½¼ · Ü · ܾ¾ · Ü Ü ½ · · ¾¿ · ½ Ü Ü Ü ÐÑ ¾ ´ µ ÐÑ Ü Ü ¾ ½ ܾ Ø Ü ½ ¾ ÔÔÐÝ Ò Ä³ÀÓÔ Ø Ð³× ÊÙÐ ÓÒ ¸ Û ÐÑ Ü ¾ ½ ¾Ü ÖÙÐ ½ Û × ×Ø ÐÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º ÔÔÐÝ Ò Ø Ü Ò¸ Û ¾ Ø ÐÑ Ü ½ ¾ ½ Ì Ù× Ø ÓÖ Ò Ð Ð Ñ Ø × ½º ´ µ ÐÑ Ü¾ Ü ¿ ÐÒ Ü ¿¾ ÐÒ ¿ ´½¼µ ¾º ÓÑÔÙØ Ø ÖÚ ØÚ Ó Ô Ü·¿ ¡¼ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ø ÐÑ ¬Ò Ø ÓÒº Ô Ü·¿ Ô Ü· ·¿ Ü·¿ ¡ Ô ÐÑ ÐÑ Ô ¼ Ü· ·¿ Ü·¿ Ü· ·¿· Ü·¿ Ô Ô¡ Ü· ·¿· Ü·¿ Ô ¼ Ô Ô ¡ ¼ Ü Ô· · ¿ ´Ü · ¿µ Ô¡ Ü· ·¿· Ü·¿ ÐÑ ÐÑ ¼ Ô Ü· ·¿· Ü·¿ Ô ¡ Ô ¼ ½ Ô Ü· ·¿· Ü·¿ ¾ Ü·¿ Ô½ ¿ ´¾ µ ¿º ÓÑÔÙØ Ø × ÑÔÐ ¬ Ø ÓÒ Ó Ø ´ µ ÐҴܵ Ó×´¾Üµ Ó×´¾Üµ ¾ ÐҴܵ × Ò´¾Üµ Ü Ö Ú Ø Ú × Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ü Ó Ø Ò×Û Ö× Ò ÒÓØ Ô Ö ÓÖÑ º ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒ Ø ÓÒ׺ Ð Ö ´µ Ü ¾Ü¿ · Ü ´¾Ü¿ · ܵ Ü Ü ´ ܾ · ½µ ´¾Ü¿ · ܵ¾ × ØØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ì ÓÖ Ñ Ó Ü¿ ¼ Ü ´¾Ü¿ ´µ ÝØ Ü ¼ ܾ · Ü ½µ ´¾Ü¿ · ܵ¾ Ð ÙÐÙ׸ Ø ×Ü ÖÚ ØÚ × ´µ ÝØ Ø¾ Ø Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ì ÓÖ Ñ Ó ´Ü µ Ð ÙÐÙ× ÔÐÙ× Ø ¿¾ Ò ÖÙÐ ¸ Ø ÖÚ ØÚ × ´µ Ô ¿Ü¾ Ü ¿Ü¾ Ü ·¿ ½ ´Ü · ¿µ ½ ¾ ´½¼µ ¾ Ü ¿ Ô ¾Ü ¿ Ü ·¿ º ËÙÔÔÓ× Ø Ø × ÙÒ Ø ÓÒ Û Ø ¬Ö×Ø Ò × ÓÒ Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÐÙ × Ö ÒÓÛÒ ¼ ´¼µ ¾¸ ¼ ´½µ ´ ܵ ´ÐҴܵµ¸ Û Ø Ö ¼ ´½µ Ò ¼¼ ´½µ Ö Ú Ø Ú ×º ËÙÔÔÓ× Ò ¿¸ ¼¼ ´¼µ ¸ Ò ¼¼ ´½µ Ø ÓÒ ºÁ ¼ ´Üµ ¼¼ ´Üµ ´½ µ º ÒØ ¼ ´ÐÒ Üµ Ü ×Ó ¼ ´½µ Ü ¾ ¼ ´ÐÒ ½µ ½ ×Ó ¼ ´¼µ ¾ Ü ¼¼ ´ÐÒ Üµ Ü ¼ ´ÐÒ Üµ ܾ ¼¼ ´ÐÒ Üµ ¼ ´ÐÒ Üµ ¼¼ ´½µ ¾ ½ ¾ ÓÐÐÓÛ Ò Ò ¬Ò Ø ÒØ Ö Ð× ´µ ´Ü¿ · ¿ · Ó× Üµ Ü Ü Ü · ¿ ÐÒ Ü · × Ò Ü · ´µ Å ´¾Ü · ½µ × ÒØ ¾ ´Ü¾ · ܵ Ü Ü¾ · Ü Ò ¾ ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ Ù × Ù ´¾Ü · ½µ ܸ Û Ø Ò´Ü¾ · ܵ · Ø ÙÙ Ø ÒÙ· ´µ Šܾ Ü ´Ü¿ ¾Ü · ½µ¿ ÒØ ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ Ù ¾ Ü¿ ¾Ü · ½ Ò Ù ´¿Ü¾ ¾µ ܸ Û Ø Ù ¿ Ù ¾Ù ¾ ¾ · ´Ü¿ ¾½Ü · ½µ¾ · ´½ µ º ´µ ÓÑÔÙØ Ø ¾ ½ ÔÜ · Ü ÓÐÐÓÛ Ò Ü ¾ ½ ´Ü ½ ¾ · Ü ½ µ Ü ÖÔ ÓÝ ¬¾ ܽ ¾ · ÐҴܵ ¬½ ½¾ ¾ ¾ · ÐÒ ¾ ¾ ÒØ ÖÚ Ð ¼ º Ô ´ µÌ Ö ÙÒ Ö Ø ¾ · ܾ · × Ò Ü ÓÒ Ø ¼ ´¾ · ܾ · × Ò Üµ Ü Ü¾ × Ò´Ü¿ µ Ü ¾Ü · Ü¿ ¿ Ó× Ü ¬¼ ¬ ¾· ¿ ¿ ´ ½µ ´ ½µ ¾·¾ · ¿ ¿ ´µ ¼ ÁÛÑ Ø Ì ÒØ Ö Ð ½ ¿ ¿ ¼ ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ Ù ÓÑ × × Ò´Ùµ Ù Ü¿ Ò Ø × ÒØ Ö Ð¸ Û ¬¿ Ú Ù ¿Ü¾ Ü ÓÖ Ü¾ Ü ½ ´½ Ó×´ ¿ µµ ¿ Ù ¿º ½ ¿ Ó×´Ùµ ¬¼ ½ ¿ Ó×´ ¿ µ ½ ¿ ´½¼µ º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ¸ Ò Ö ´Üµ ÓÒ×Ø ÒØ׺ Ä Ø Ü¿ · Ü Ü¾ · ¾ Ü Ü Ø ½ ½ ÙÒ Ø ÓÒ ¬Ò Ý ´ µ Ï Ø × Ð Ñ ´Üµ ܽ ·½ ´ µ Ï Ø × Ð Ñ· ´Üµ ܽ ·¾ ´ µ ÀÓÛ ÑÙ×Ø ´ µ Ï Ø ÑÙ×Ø Ø Ò ÖÐØ ·½ Ú ÐÙ × Ó Ò ´Üµ × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ü · ¾ ÓÖ ´Üµ × ·½ « Ö ÒØ Ð ØÜ ½ ÖÚ ØÚ Ø Ü ½¸ · ½¸ ×Ó ½ Ì Ö Ú Ø Ú Ó Ü¿ · Ü × ¿Ü¾ · ¸ Û × Ø Ú ÐÙ · ¿ Ü ½º Ì ¾ Ó Ü · ¾ × ¾ ܸ Û × Ø Ú ÐÙ ¾ Ø Ü ½º Á ´Üµ × « Ö ÒØ Ð Ø × ØÛÓ Ú ÐÙ × ÑÙ×Ø Ö º Ì Ø ×¸ Û ÑÙ×Ø Ú · ¿ ¾ º Ý ´ µ¸ · ¾ ÓÖ º ÖÓÑ Ø ×¸ Û Ø º ´µ º Í× Ø Ì Ü Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ü Ø Ü ØÓ ×Ø Ñ Ø Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ò´ ¾ · ¼ ½¿µº × Ú ÐÙ ¾ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ò Ü Ø Ü × ½º Ì Ö Ú Ø Ú Ó Ø ÒÜ × × º Ì Ù× Ø Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ü Ø × Ä´Üµ ܸ Û ½·¾ Ü Ò Ä · ¼ ½¿ ½ · ¾´¼ ½¿µ ½¾ ½ Ø ØØ ÔÓ ÒØ ´½¼µ º Ò ´½ ¾µº Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ × Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ Ø Ö Ô Ó ¾Ü¿ Ý ¾ · ܾ Ý ¿ « Ö ÒØ Ø Ò ¿ ×Ó Ø Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ü¸ Û ¼ ÓÖ Ý ¼ ¾Ü ´¾Ý µÝ ¼ · ܾ Ý ¾ · ܾ ´¿Ý ¾µÝ ¼ · ¾ÜÝ ¿ ØØ ÒØ ÔÓ ÒØ ´½ ¾µ¸ Û Ø Ò ÒØ × Ý ¾ Ú Ý¼ ܾ Ý ¾ · ¾ÜÝ ¿ Ü¿ Ý · ¿Ü¾ Ý ¾ ¾ ¾´Ü ½µº ·½ · ½¾ ¾ ´½¼µ ½¼º ÁÒ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ¸ ××ÙÑ Ø Ø ÓÓÖ Ò Ø × Ö Ú Ò Ò Øº ÔÓ ÒØ × ÑÓÚ Ò Ø Ü¹ Ü × Ò ×Ù Û Ý Ø Ø Ø× Ð Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ñ Ø × Ø · Ó× ¾Ø Ø»× ¾ º ´ µ ËÙÔÔÓ× Ø Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø × ÙÒ Ø ÓÒ Ó Øº Ä Ø ´Øµ ÒÓØ Ø ÔÓ ÒØ Ø Ø ¼ × ¿ Ø»× º ×Ö Ø Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø ÖÚ ØÚ Ó ÐÓÒ ÔÓ ÒØ Ð Ö Ø ÓÒº Ì Ò Ø Ú ´Øµ Ú ÐÓ ØÝ Ú ´Øµ × Ò ÒØ Ø¾ × Ò´¾Øµ · · ¾ ¾ ´Øµº Ì Ù× ´Ø · Ó×´¾Øµµ Ø ÙØ ¿ Ú ´¼µ ¸ ×Ó Ú ´Øµ ؾ × Ò´¾Øµ · ·¿ ¾ ¾ ´ µ ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ñ Øº Ì ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø ÔÓ ÒØ Ø Ø ¼ × ½¼º ×Ö Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓ ÒØ ÔÓ× Ø ÓÒ ×´Øµ × Ò ÒØ ×´Øµ Ö Ú Ø Ú Ó Ú ´Øµº À Ò Ø¾ × Ò´¾Øµ · ·¿ ¾ ¾ Ø Ø¿ Ó×´¾Øµ · ¿Ø · ËÒ ½¼ ×´¼µ ½ · ¸Û ״ص Ú Ø¿ ½ Ò · ¿Ø · ½ Ó×´¾Øµ ´µ ½½º ÓÑÔÙØ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ×ÙÑ ÓÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ¾Ü ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð ½ ¾ Ù× Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ¹½¸ ¼¸ ½¸ ¾ Ò Ø Ò × Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú ÔÓ ÒØ× Ø Ö Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó ×Ù ÒØ ÖÚ Ðº Ì Ê Ñ ÒÒ ×ÙÑ × ¾¼ ¡ ½ · ¾½ ¡ ½ · ¾¾ ¡ ½ ÖÔ ÓÝ 2 ´½¼µ ½¾º Ï Ø ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÔÜ º × ÐÓ× ×Ø ØÓ Ø ÔÓ ÒØ ´¿ ¼µ 1.5 1 0.5 –1 0 1 2 x 3 4 5 ØÝÔ Ð ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ö Ô × È ´Ü ܵ¸ Û Ö Ü ¼º Ä Ø ´Üµ ÓØ ×Ø Ò ÖÓÑ È ØÓ ´¿ ¼µº ´ÌÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø ×Ø Ò ¸ Ø × ÒÓÙ ×ÕÙ Ö Ó Ø ×Ø Ò ºµ Ì Ò ´Üµ ´Ü ¿µ¾ · ´ ܵ¾ Ô ÒÓØ Ø ×ÕÙ Ö ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ô ´Ü ¿µ¾ · Ü Ü¾ Ü · Ì Ù× ¼ ´Üµ ¾Ü ¸ Û ×¼Û ÒÜ ¾º Ì ¬Ö×Ø Ö Ú Ø Ú Ø ×Ø Ø ÐÐ× Ù× Ø Ø ´Üµ × Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ü Ô ¾º Ì Ö × ÓÒ Ò ÔÓ Òظ Ò Ñ ÐÝ Ü ¼¸ ÙØ ´¼µ ¾ ´ ¾µº Ì Ù× ´ ¾ ¾µ × Ø ÐÓ× ×Ø ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ö Ô ØÓ ´¿ ¼µº ´½¼µ ½¿º Á Ò ´Üµ × Ø ÕÙ Ø ÓÒ× ÓÖ ÐÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ð ×ÝÑÔØÓØ × Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ü · ¿ Ü ¾ º Ü Ð Ñ ´Üµ ½ ¡ ¼ · ¿ ¿ ¡¼ ¾ ¾ Ò Ü ÐÑ ½ ´Üµ ·¿ Ü Ü ½ ¾ Ü ÐÑ ·¿¡¼ ¾¡¼ Ì Ù× Ø Ö Ö ØÛÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ×ÝÑÔØÓØ ×¸ Ý ´Üµ × ÐÛ Ý× ¬Ò ¸ ×Ó Ú ÖØ Ð ×ÝÑÔØÓØ Ü ¾ ¼¸ Ø Ò ¿ ¾ Ò Ý º Ì ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ò ÓÒÐÝ Ó ÙÖ Û Ò Ø Ñ Ò ØÓÖ × ¼º Á ÐÒ´¾ µ ÐÒ´ ¾µ ÐÒ´ ¾µº Ü ¾ Ü ¾ Ü ÐÒ´¾ µ ÓÖ Ü Ì ÒÙÑ Ö ØÓÖ × ÒÓØ ¼ ÓÖ Ø × Ú ÐÙ Ó Ü¸ ×Ó Ø ÀÖ × ÖÔ Ó º × Ò Ð Ú ÖØ Ð ×ÝÑÔØÓØ × Ü 10 8 6 y 4 2 0 –2 –4 –6 –8 –10 –4 –2 2 x 4 ´½¼µ ½ º À Ö ×Ø ÖÔ Ó ÙÒ Ø ÓÒ º 4 2 –4 –3 –2 –1 1 2 x 3 4 –2 –4 ÇÒ Ø Ü× ÐÓÛ¸ × Ø Ø ÖÔ ÓØ ÖÚ ØÚ Ó º 4 3 y 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 1 2 x 3 4 –2 –3 –4 ´Ì ÓÖ Ò Ð Ö Ô × ØÙ ÐÐÝ Ü · × Ò ¾Ü Ò Ø Ö Ú Ø Ú × ½ · ¾ Ó× ¾Üºµ ´½¼µ ½º ÓÙ Ñ Ý ¬Ò Ø Ö ¸ ÙØ Ñ Ò ÝÓÙ Ö Û Ø Ò ÐÐÓÓÒ Ò Ø × Ô Ó Ù Ò Ò­ Ø º Ø ÖØ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÐÐÓÓÒ × Ù ØÒØ ÚÓÐÙÑ × Ò Ö × Ò Ø Ø Ö Ø Ó ¼º¿ Ù Ø Ô Ö Ñ ÒÙØ º ÀÓÛ ×Ø × Ø ×ÙÖ Ö ÓØ ÐÐÓÓÒ Ò Ö × Ò Ø Ø Ø ÑÓÑ ÒØ ÄØÜ Ø ÐÒ Ø Ó Ò ÓØ Ù º Ì Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ø Ù × Î Ü¿ º Ì Ù × ×Ü ×¸ ÓÛ × ×ÕÙ Ö Û Ø Üº Ì Ù× Ø ×ÙÖ Ö ÓØ Ù× Ü¾ º Ø Ø ÑÓÑ Òظ Î ´Üµ ¸ Ø Ø ×¸ Ü¿ ÓÖ Ü ¾ غ ÁÒ Ò Ö Ð¸ Î Ü Ü ¿Ü¾ Ò ½¾Ü Ø Ø Ø Ø Ø Ø ÑÓÑ Òظ Ü Ü ¼ ¿ ¿¡ ×Ó ¼ ¼¾ Ø»Ñ Òº Ø Ø Ì Ù× ½¾ ¡ ¾´¼ ¼¾ µ ¼ ؾ »Ñ Òº Ø ´½¼µ ½ º ÁÒ Ø ×Ô ÐÓÛ¸ × Ø Ø ÖÔ Ó ÙÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø ´Üµ × ¬Ò Ò « Ö ÒØ Ð ÓÖ ÐÐ Ö Ð ÒÙÑ Ö× Ü Ü ÔØ Ü ÖÔ Ó × Ú ÖØ Ð ×ÝÑÔØÓØ × Ø Ü ¿ Ò Ü ¾º Ð Ñ ´Üµ ½ Ò Ð Ñ ´Üµ ¾ Ü ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ × ¿ Ò Ü ¾º Ì Ì ÖÔ Ó × ÓÒ Ú ÓÛÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ú ÙÔ ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð ´ ¿ ¾µº ½ ÒØ ÖÚ Ð× ´ ½ Ü ½ ¿µ Ò ´¾ ½µ ÒØ ÖÔ × ...
View Full Document

This note was uploaded on 02/07/2011 for the course MATH 135 taught by Professor Noone during the Spring '08 term at Rutgers.

Ask a homework question - tutors are online