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FONCTION EXPONENTIELLE Logarithme Naturelle GÉNÉRALISATIONS APPLICATIONS CHAPITRE 5 : EXPONENTIELLE ET LOGARITHME Barnabé DJEGNÉNÉ Département de Sciences Économiques, Université de Montréal Montréal, Québec, Canada Lundi 9 Novembre 2009. 13h00-16h00
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FONCTION EXPONENTIELLE Logarithme Naturelle GÉNÉRALISATIONS APPLICATIONS Fonctions Exponentielles Une fonction f est dite exponentielle de base a si : f ( x ) = a x (1) Exemple de fonction exponentielles x a = 2 a = 10 0 . 5 1 . 414 3 . 162 2 4 100 Chaque choix de a nous donne une fonction exponentielle ; La famille est infinie ; Toutefois, il y a une base qui est particulièrement utilisée dans de nombreuses applications, dont économiques.
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FONCTION EXPONENTIELLE Logarithme Naturelle GÉNÉRALISATIONS APPLICATIONS Dérivée Fonction Exponentielle Soit f a ( x ) = a x , une fonction exponentielle, où a > 0 est une base quelconque ; Exemple a = 2, que vaut f 0 a ( x ) ? Attention ! Nous avons f 2 ( x ) = 2 x 6 == x 2 . Si le nombre f 0 2 ( 0 ) = lim h 0 2 h - 2 0 h existe, alors il sera la dérivée de f 2 ( x ) en x = 0 ; Valeur approximée de f 0 2 ( 0 ) h p ( h ; 2 ) 0 . 1 0 . 717735 0 . 01 0 . 695555 0 . 001 0 . 693389 0 . 00001 0 . 693150 0 . 000001 0 . 693147 0 . 0000001 0 . 693147
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FONCTION EXPONENTIELLE Logarithme Naturelle GÉNÉRALISATIONS APPLICATIONS Le Nombre e Supposons que pour tout a > 0, le nombre f 0 a ( 0 ) existe ; Considérons la fonction g ( a ) = f 0 a ( 0 ) ; Le tableau ( 4 ) donne la valeur g ( a ) pour quelques points a a g ( a ) = f 0 a ( 0 ) 2.7175 0.999712341 2.718125 0.999942303 2.71828125 0.999999786 2.71828186 1.000000013 2.718282471 1.000000237 2.718283691 1.000000686 2.718286133 1.000001583 Tab.: Dérivée en 0 de diverses exponentielles
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FONCTION EXPONENTIELLE Logarithme Naturelle GÉNÉRALISATIONS APPLICATIONS Le nombre e On peut montrer que la fonction g ( a ) est continue en tout point a > 0. Le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’une
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