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Unformatted text preview: DÉFINITIONS DÉRIVÉE PREMIÈRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXITÉ CHAPITRE 6 : OPTIMISATION UNIVARIÉE SANS CONTRAINTES Barnabé DJEGNÉNÉ Département de Sciences Économiques, Université de Montréal Montréal, Québec, Canada Lundi 09 Novembre 2009: 13h00-16h00 DÉFINITIONS DÉRIVÉE PREMIÈRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXITÉ Rappel Soit f une fonction de domaine D . Alors, • c ∈ D est maximum pour f si et seulement si f ( x ) ≤ f ( c ) pour tout x ∈ D . On appelle f ( c ) la valeur maximale de f sur D . • d ∈ D est minimum pour f si et seulement si f ( x ) ≥ f ( c ) pour tout x ∈ D . On appelle f ( d ) la valeur minimale de f sur D . • Les expressions point extrême et point optimal servent aussi à désigner un minium ou un maximum. • Les valeurs minimales et maximales sont aussi désignées par valeurs extrêmes ou valeurs optimales . • Rechercher le maximum d’une fonction est équivalent à rechercher le minimum de son opposé : f ( x ) ≤ f ( c ) , ∀ x ∈ D ⇔ - f ( x ) ≥ - f ( c ) , ∀ x ∈ D DÉFINITIONS DÉRIVÉE PREMIÈRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXITÉ Points Stationnaires • Dans la recherche d’un minimum ou d’un maximum, les points stationnaires joueront un rôle crucial : x est un point stationnaire pour f si f ( x ) = (1) • La tangente à une fonction en un point stationnaire est horizontale, c’est-à-dire parallèle à l’axe des abscisses (voir figure 1, 2, 3) DÉFINITIONS DÉRIVÉE PREMIÈRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXITÉ Points Stationnaires a = 0 c = 3 b = 5 . 5 f ( a ) f ( c ) f ( b ) f ( x ) = 4 . 5- . 5( x- 3) 2 Fig.: Figure 1 DÉFINITIONS DÉRIVÉE PREMIÈRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXITÉ Test Dérivée Première pour un Maximum • Quel est le point stationnaire du graphique 1 ? • Lorsque x ≤ c , quel est le signe de la dérivée de f ? • Lorsque x ≥ c , quel est le signe de la dérivée de f ? • Que représente c pour la fonction f ? Proposition Supposons que f est différentiable sur l’intervalle I et admettons que f a un seul point stationnaire x = c. Alors, si f ( x ) ≥ pour x ≤ c et f ( x ) ≤ pour x ≥ c, alors x = c est un maximum pour f . DÉFINITIONS DÉRIVÉE PREMIÈRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXITÉ Point Stationnaire et Minimum a = 0 c = 3 b = 5 . 5 f ( a ) f ( c ) f ( b ) f ( x ) = 1 + 0 . 5( x- 3) 2 Fig.: Figure 2 DÉFINITIONS...
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