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Unformatted text preview: DFINITIONS DRIVE PREMIRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXIT CHAPITRE 6 : OPTIMISATION UNIVARIE SANS CONTRAINTES Barnab DJEGNN Dpartement de Sciences conomiques, Universit de Montral Montral, Qubec, Canada Lundi 09 Novembre 2009: 13h00-16h00 DFINITIONS DRIVE PREMIRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXIT Rappel Soit f une fonction de domaine D . Alors, c D est maximum pour f si et seulement si f ( x ) f ( c ) pour tout x D . On appelle f ( c ) la valeur maximale de f sur D . d D est minimum pour f si et seulement si f ( x ) f ( c ) pour tout x D . On appelle f ( d ) la valeur minimale de f sur D . Les expressions point extrme et point optimal servent aussi dsigner un minium ou un maximum. Les valeurs minimales et maximales sont aussi dsignes par valeurs extrmes ou valeurs optimales . Rechercher le maximum dune fonction est quivalent rechercher le minimum de son oppos : f ( x ) f ( c ) , x D - f ( x ) - f ( c ) , x D DFINITIONS DRIVE PREMIRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXIT Points Stationnaires Dans la recherche dun minimum ou dun maximum, les points stationnaires joueront un rle crucial : x est un point stationnaire pour f si f ( x ) = (1) La tangente une fonction en un point stationnaire est horizontale, cest--dire parallle laxe des abscisses (voir figure 1, 2, 3) DFINITIONS DRIVE PREMIRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXIT Points Stationnaires a = 0 c = 3 b = 5 . 5 f ( a ) f ( c ) f ( b ) f ( x ) = 4 . 5- . 5( x- 3) 2 Fig.: Figure 1 DFINITIONS DRIVE PREMIRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXIT Test Drive Premire pour un Maximum Quel est le point stationnaire du graphique 1 ? Lorsque x c , quel est le signe de la drive de f ? Lorsque x c , quel est le signe de la drive de f ? Que reprsente c pour la fonction f ? Proposition Supposons que f est diffrentiable sur lintervalle I et admettons que f a un seul point stationnaire x = c. Alors, si f ( x ) pour x c et f ( x ) pour x c, alors x = c est un maximum pour f . DFINITIONS DRIVE PREMIRE ALTERNATIVES OPTIMUMS LOCAUX CONVEXIT Point Stationnaire et Minimum a = 0 c = 3 b = 5 . 5 f ( a ) f ( c ) f ( b ) f ( x ) = 1 + 0 . 5( x- 3) 2 Fig.: Figure 2 DFINITIONS...
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