problemas.pdf - VIBRACIONES DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD(Curso 2012-13 Nomenclatura i Tema 1 Formulaci\u00f3n ecuaci\u00f3n de movimiento Din\u00e1mica

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Unformatted text preview: VIBRACIONES DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD (Curso 2012-13) Nomenclatura i Tema 1 Formulación ecuación de movimiento Dinámica Newtoniana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Sistema con dos poleas sin masa Sistema con cuatro poleas sin masa Sistema con cuatro poleas, una de ellas con masa Sistema con dos poleas Sistema con dos poleas sin masa y muelles en serie Disco con rodadura sin deslizamiento Sistema con una polea con masa Péndulo con resortes Masa dentro de tubo giratorio Péndulo con rotación alrededor del eje vertical Disco suspendido de cuatro cables Péndulo unido a disco con rodadura sin deslizamiento Sistema con movimiento de la base Automóvil con carrito. Sistema degenerado 1 2 3 5 7 8 10 11 13 15 18 20 22 23 Dinámica Lagrangiana 15 16 17 18 19 20 21 22 Sistema con cuatro poleas, una de ellas con masa Disco con rodadura sin deslizamiento Péndulo compuesto Masa dentro de tubo giratorio Conjunto barra-disco-masa Disco suspendido de cuatro cables Muelles inclinados Péndulo con rotación alrededor del eje vertical 25 26 27 29 31 36 37 40 Condición inicial en posición. Consideración del peso 23 24 25 26 27 28 29 30 Sistema con dos poleas sin masa Caída de cuerpo sobre suspensión sin masa Caída de cuerpo sobre suspensión con masa Caída de masa suspendida de un cable Masas unidas por resorte cayendo dentro de un tubo Choque de masa suspendida de un cable Masa colgada de polea con rodadura sin deslizamiento Expresión de fuerza transmitida 42 44 46 49 50 51 53 55 Condición inicial en velocidad. Dinámica impulsiva. 31 Choque plástico sobre péndulo simple invertido 32 Choque elástico y plástico sobre péndulo invertido 33 Choque elástico sobre sistema con varias masas 56 56 62 Rozamiento seco 34 Plano inclinado 35 Disco giratorio con ranura 36 Masa sobre carrito 65 65 66 Sustitución de masas distribuidas por concentradas. Método de Rayleigh 37 38 39 40 41 Vibraciones transversales. Viga en voladizo con muelle Vibraciones longitudinales Vibraciones torsionales Forjado sustentado por dos pilares Movimiento de la base 68 70 72 74 76 Tema 2 Vibraciones libres No amortiguadas 42 Caída de vehículo 43 Masas unidas por resorte cayendo dentro de un tubo 44 Comparación entre ejes con y sin sección constante 77 79 80 Con amortiguamiento viscoso 45 46 47 48 Decremento logarítmico Oscilaciones de un barco Puenting en el puente del Alamillo Choque, separación y fuerza máxima 84 86 86 89 Con rozamiento seco 49 50 51 52 53 54 Cálculo de número de ciclos hasta que se pare Otro de cálculo de número de ciclos hasta que se pare Número de ciclos para la parada con velocidad inicial Separación tras choque plástico Choque, separación y fuerza máxima Masas con y sin deslizamiento relativo 92 93 94 95 96 99 Con amortiguamiento estructural 55 Determinación de la constante de amortiguamiento 102 Tema 3 Vibraciones forzadas periódicas Rotor desequilibrado 56 Rotor sobre pórtico 57 Modificación de la rigidez del sistema 58 Reducción de vibraciones 103 105 107 Movimiento de la base 59 60 61 62 Contactor eléctrico Medida de vibraciones en edificios Terremoto Varillas elásticas con bolas en los extremos 109 111 113 115 Transmisibilidad 63 64 65 66 Cálculo de la rigidez de un aislamiento de una máquina herramienta Diseño de aisladores sin amortiguamiento Diseño de aisladores con amortiguamiento Motobomba sobre pórtico 117 118 120 121 Excitación armónica 67 Viga biapoyada 124 68 Chimenea 69 Aerogenerador 125 128 Excitación periódica. Series de Fourier 70 Onda cuadrada de presión 130 Tema 4 Vibraciones forzadas no periódicas Funciones elementales 71 72 73 74 75 76 77 Sistema en el interior de un vehículo frenando Rotura del cable de un montacargas Número de ciclos para la parada ante excitación escalón Deslizamiento relativo entre dos masas Determinación de la altura de caída de una caja Sistema sobre plano inclinado con rozamiento seco Escalón +armónicas 133 134 137 139 141 143 144 Combinación de fuerzas elementales 78 79 80 81 82 Excitación senoidal de medio ciclo de duración Pulso cuadrado Proceso de llenado de un petrolero Pulso triangular Coche sobre puente 146 148 150 152 155 Integral de Duhamel 83 Excitación senoidal de medio ciclo de duración 84 Pulso triangular 158 159 Varios 85 Proceso de frenado de un montacargas 86 Vehículo sobre carretera irregular 161 165 NOMENCLATURA En este libro, se va a emplear siempre la misma nomenclatura, tanto en los desarrollos como en la figuras. Vector Un vector se representará siempre en negrilla. Ejemplos: u: vector de posición. X: vector de posición. V: vector velocidad. F: vector de fuerza. En las figuras, si la dirección de un vector es la de uno de los ejes de coordenadas y el sentido del vector varía durante las fases del movimiento que desea representarse, se representará siempre con el sentido positivo. El signo de la componente del vector en cada instante estará definido por su expresión matemática. Ejemplo. Ante el movimiento de una masa en dirección x, la fuerza de inercia estará representada como se muestra en la figura. El módulo y sentido estarán definidos mediante su expresión matemática. y v FI = −m&x& u FI Para evitar confusiones, si el vector tiene siempre un sentido constante y en la dirección de uno de los ejes x x de coordenadas, también se representará siempre con el sentido positivo. Su sentido real se determinará de su expresión matemática en función de sus componentes. Componente de un Vector Las componentes de un vector se representarán siempre en letra cursiva. Ejemplos: u=xi+yj x e y son las componentes del vector. Su valor puede ser positivo o negativo. X=xi x es la componente según esa dirección. V = x& i + y& j x& e y& son las componente del vector. F = Fx i + Fy j + Fz k Fx, Fy, y Fz son las componentes del vector fuerza, F. F=Fi F es la componente x del vector. En las figuras, si la dirección de la componente es la de uno de los ejes de coordenadas y su sentido varía durante las fases del movimiento que desea representarse, se representará siempre con el sentido positivo. El signo de la componente del vector en cada instante estará definido por su expresión matemática. ii y y v x u x x N FI FI FIx Para evitar confusiones, si el vector tiene siempre un sentido constante y en la dirección de uno de los ejes de coordenadas, también se representará siempre con el sentido positivo. Su sentido real se determinará de su expresión matemática en función de sus componentes. FI = Fi i = FI x i x Módulo de un vector o de una componente Se representa con letra “normal”. En las figuras se representará en la dirección en que actúa. Ejemplos: x = -A A es el módulo de x. Fy = P = -mg mg es el módulo del peso. Fx = R R es el módulo de la fuerza en dirección y. y Fy mg P Fx R x x A Breve justificación De hecho, en un sistema vibrante, habrá distintos tipos de fuerzas con dirección constante, pero que varían su sentido dependiendo del instante de la vibración en que se encuentren. Por ejemplo, durante cualquier vibración con movimiento en una sola dirección, la aceleración cambiará de sentido y, por tanto, las fuerzas de inercia. Para evitar tener que saber antes de resolver el problema el sentido de cualquier vector, lo mejor será representarlo con su sentido positivo, sabiendo que en cada instante tendrá el sentido correspondiente a la fase del movimiento en que se encuentre. Por ejemplo, si se representan las fuerzas que actúan sobre la masa de un sistema como el de la figura, las fuerzas elásticas y las de inercia dependen de la posición y de la aceleración, que variarán de signo durante el movimiento vibratorio. Por ello, en la figura parece más conveniente representar las fuerzas en sentido positivo, sabiendo que FE = −kx FI = −m&x& y que serán positivas o negativas, dependiendo del sentido del desplazamiento y la aceleración respectivamente. k m FE FI iii Evidentemente, si sólo actúan las dos fuerzas representadas en dirección horizontal, para que exista el equilibrio debe cumplirse la condición FI + FE = 0 O lo que es lo mismo: FI = − FE Lo que implica: &x& = − k x m Sin embargo, dependiendo de que la posición sea una u otra, la fuerza elástica tendrá un signo u otro. Tema 1 FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO Dinámica Newtoniana Problema 1: Sistema con dos poleas sin masa Sin masa k k Inextensibles m c El sistema de la figura está situado en el plano vertical. La masa m solo tiene permitido el movimiento en dirección vertical; está conectada al soporte superior mediante dos cables como los mostrados, que se suponen rígidos a tracción a un lado de la polea y flexibles en el otro. La constante de rigidez de cada cable es k. Dichos cables no pueden deslizar en las poleas, que se suponen sin masa y conectadas a la masa con cables inextensibles. En la parte inferior, la masa está unida al soporte mediante un amortiguador de constante c. Plantea la ecuación del movimiento del sistema en vibración libre. Solución. Para el planteamiento de las ecuaciones del movimiento se adopta el criterio de signos por el que los movimientos y fuerzas se consideran positivos hacia abajo y los giros positivos en sentido antihorario. Aislando el conjunto masa-poleas, las fuerzas que actúan sobre dicho conjunto pueden representarse como en la figura siguiente, donde FE son las fuerzas elásticas, FI las de inercia, FA las de amortiguamiento y FP el peso. Como las poleas no tienen masa, para que haya equilibrio de momentos alrededor de sus ejes, las fuerzas a uno y otro lado de cada polea deben ser iguales: FE1 = FE 2 ; FE 3 = FE 4 FE1 FE2 FE3 FE4 Para determinar el valor de las fuerzas elásticas, deben analizarse los movimientos de las poleas al desplazar la masa. Cuando la masa m se desplaza una cantidad x, cada polea se desplaza esa misma cantidad hacia abajo. Para conseguir ese desplazamiento, la polea debe realizar un movimiento de rodadura alrededor de la rama rígida del cable. Ante esa rodadura, el punto P de tangencia inicial entre polea y cable, pasará a otra posición, P´. El nuevo punto de + FA FI FP= mg 2 Formulación de la ecuación del movimiento tangencia será el punto S y la longitud que debe alargarse el cable durante el movimiento, Δl. será la distancia PP´: Por otro lado, si el centro de la polea se ha desplazado una distancia x, la polea habrá girado un ángulo θ, tal que k x = −rθ P r Donde r es el radio de la polea. En la figura puede comprobarse que el alargamiento del cable es Δl = PP′ = PS + SP′ = x − rθ = 2 x Nota. Nótese que el valor del ángulo θ de las poleas es función de x, por lo que esta variable P’ no constituye un nuevo grado de libertad. S θSP’ Otra forma de determinar el alargamiento del cable es considerar que al desplazarse la polea una distancia x, la longitud de cada una de las ramas del cable (derecha e izquierda) debe aumentar en una cantidad x, con lo que la longitud total del cable habrá aumentado una cantidad 2x. Si el incremento de longitud de la parte elástica del cable es 2x, su tensión será Tcable = 2kx Teniendo en cuenta que las poleas no tienen masa, la tensión en la rama izquierda debe ser igual a la de la rama derecha. Por tanto, cada una de las fuerzas elásticas puede expresarse, FE1 = FE 2 = FE 3 = FE 4 = −2kx Las fuerzas producidas por el amortiguador serán FA = −cx& las de inercia tienen la expresión FI = −m&x& y las del peso: F p = mg La ecuación del movimiento se obtendrá del equilibrio: ∑F = F I + FA + FE1 + FE 2 + FE 3 + FE 4 + Fp = 0 Por tanto, será: m&x& + cx& + 8kx = mg Nota. En el problema 4 se verá que en casos como éste, con poleas de masa despreciable, si los cables son flexibles en toda su longitud se obtiene la misma solución. Esto no ocurrirá si alguna de las poleas tiene masa apreciable. Problema 2: Sistema con cuatro poleas sin masa El sistema de la figura se mueve en el plano horizontal y sólo está permitido el movimiento en la dirección x de la figura. Se considera que las poleas tienen masa despreciable, al igual que las barras de unión de las poleas a la masa y al soporte, que se consideran inextensibles. Los cables se suponen que son extensibles sólo en uno de sus extremos, como se representa en la figura, con una rigidez k. Plantear la ecuación del movimiento del sistema de la figura y determinar su frecuencia natural. Dinámica Newtoniana 3 k k m c Solución. Ante un desplazamiento x de la masa, cada rama del cable aumentará su longitud una distancia x. Por tanto, cada cable se alargará una longitud 3x, como se muestra en la figura siguiente. Por tanto, el incremento de tensión del cable en cualquier punto del cable será: T = 3kx r P Es decir: FEi = −3kx La ecuación del movimiento se obtendrá a partir del equilibrio de fuerzas sobre la masa: 6 ∑F = ∑F i =1 Ei + FA + FI = 0 P’ con FA = −cx& y FI = −m&x& Sustituyendo FE i, FA y FI en la ecuación de equilibrio, se obtiene: m&x& + cx& + 18kx = 0 La frecuencia natural podrá expresarse, por tanto: ωn = 18k m Problema 3: Sistema con cuatro poleas, una de ellas con masa El sistema de la figura se mueva en el plano horizontal y la masa m sólo tiene permitido el movimiento en dirección x. La polea A tiene radio R y momento de inercia, I, alrededor de su centro, mientras que las masas y momentos de inercia de las restantes poleas son despreciables. Los cables se suponen que son extensibles sólo en uno de sus extremos, como se representa en la figura, con una rigidez k. Obtenga la frecuencia natural del sistema: 4 Formulación de la ecuación del movimiento Polea A k k m c Solución. Como se ha visto anteriormente al desplazar la masa una cantidad x cada muelle se alarga una cantidad 3x. En el cable de la izquierda, donde las poleas tienen masa despreciable, al alargarse el cable una cantidad 3x, y la tensión en toda su longitud será FE2 FE3 FE4 T = 3kx FE5 FE6 FE1 + FA FI con lo que las fuerzas elásticas aplicadas a la masa aislada de la figura pueden expresarse FE1 = FE 2 = FE 3 = − 3kx Por otro lado, ante el desplazamiento de la masa, la polea A girará un ángulo θ, cuyo valor puede determinarse con ayuda de la figura siguiente. El punto P del cable se habrá desplazado hasta la posición P´, una distancia: PP′ = 2 x con lo que la polea A habrá girado un ángulo: θ= r P 2x R De acuerdo con ello, ante una aceleración &x& de la masa, la aceleración angular de la polea será: θ&& = 2 &x& R Para determinar las fuerzas elásticas producidas por el cable conectado con la polea A, debe plantearse previamente el equilibrio de momentos en dicha polea. Planteando el equilibrio de momentos alrededor del centro de la polea, P’ ∑M MI =0 puede escribirse M I + RFE*5 − RFE*6 = 0 c FE5 C * FE6 Donde 2I M I = − Iθ&& = − &x& R Dinámica Newtoniana 5 Por otro lado, si el muelle situado a la derecha de la polea A se ha alargado una longitud 3x, la fuerza FE*6 en esa rama del cable será: FE*6 = 3kx Sustituyendo las expresiones de MI y FE*6 en la ecuación de equilibrio de la polea se obtiene: FE*5 = FE*6 − MI 2I = 3kx + 2 &x& R R Teniendo en cuenta que las fuerzas en la polea A son de signo contrario a las aplicadas por la misma rama del cable sobre la masa, puede escribirse: FE*5 = − FE5 FE*6 = − FE 6 Igualmente, del equilibrio de momentos en la polea de masa despreciable puede deducirse que FE 4 = FE 5 Aplicando finalmente equilibrio de fuerzas sobre la masa m, se obtiene: FI + FA + FE1 + FE 2 + FE 3 + FE 4 + FE 5 + FE 6 = 0 Sustituyendo las expresiones de todas las fuerza de la ecuación anterior y simplificando, se obtiene: 4I ⎞ ⎛ ⎜ m + 2 ⎟&x& + cx& + 18kx = 0 R ⎠ ⎝ Por lo tanto la frecuencia natural es: 18K 4I m+ 2 R ωn = Problema 4: Sistema con dos poleas. a. Resolver el problema 1 considerando que los cables son flexibles en toda su longitud y las poleas tengan masa despreciable. b. Discutir el planteamiento de la ecuación del movimiento en caso de que los cables sean flexibles en toda su longitud y una polea tenga una masa apreciable. 2k 2k 2k m c 2k Formulación de la ecuación del movimiento 6 Solución. a. Cada cable completo tiene una rigidez k, con distribución uniforme de la rigidez. Por ello, independientemente de las características de las poleas a las que van conectados, la parte elástica de cada cable puede considerarse concentrada en dos partes, una a cada lado de la polea. En ese caso, de acuerdo con la figura, para que el conjunto del cable tenga una rigidez keq=k, cada rama debe tener una rigidez 2k: 2k keq 2k FE2 FE1 FE3 1 1 1 = + keq 2k 2k FE4 → k eq = k Por tanto, la figura mostrada en el enunciado es equivalente a la del problema Nº 1, pero con la rigidez de los cables distribuida en toda su longitud. + FA FI FP= mg Con el sistema en vibración libre, situación en la que no hay fuerza externa aplicada, y dado que las poleas son de masa despreciable, el equilibrio de momentos alrededor del centro de cada polea implica que FE1 = FE 2 y FE 3 = FE 4 Ello quiere decir que ante cualquier desplazamiento vertical de las poleas, si la rigidez del cable es igual a uno y otro lado de las poleas, su alargamiento también debe ser igual a uno y otro lado de la misma. Por tanto, no se producirá giro alguno de las poleas: θ=0. El sistema tiene, por tanto un grado de libertad como el problema Nº 1. Las fuerzas elásticas aplicadas a las poleas pueden deducirse fácilmente considerando un desplazamiento x de la masa. En ese caso, cada rama del cable se habrá alargado una cantidad x, y ejercerá una fuerza: FE i = −2 kx Las fuerzas del peso, las de inercia y de amortiguamiento se comportarán igual que en el problema Nº 1. Por tanto, del equilibrio de fuerzas aplicadas a la masa se obtiene la ecuación: m&x& + cx& + 8kx = mg b. En el caso de que una de las poleas tenga masa, del equilibrio de momentos alrededor de dicha polea con masa se obtiene: M I + rFE 3 − rFE 4 = 0 FE4 FE3 MI c Donde FE 3 = − 2 k (x + rθ ) r FE 4 = − 2 k (x − rθ ) Por tanto, puede escribirse: Iθ&& + 4kr 2θ = 0 La diferencia con el caso anterior es que al ser MI ≠0, θ será también distinta de cero. Por otro lado, a diferencia del caso del problema Nº 3, al ser el cable flexible a ambos lados de la polea, no existe una relación cinemática definida entre x y θ. Ello implica que hay dos variables que son necesarias para definir la configuración del sistema. El problema se resolvería planteando al mismo tiempo la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales aplicadas al conjunto masa-poleas. En ese caso, aparecerá otra ecuación y del conjunto de las dos ecuaciones diferenciales podrán determinarse las dos variables. Dinámica Newtoniana 7 Es decir, es sistema es de dos grados de libertad. Y su planteamiento completo no se aborda en este trabajo, dedicado a sistemas de un grado de libertad. Problema 5: Sistema con dos poleas sin masa y muelles en serie. Escribir la ecuación del movimiento del sistema de la figura, en el que las masas de las poleas son despreciables. k 2k k/2 m c Solución. Cuando la masa se desplaza una cantidad x, la polea de la izquierda también baja una cantidad x, y consecuentemente el cable unido a ella se alarga una cantidad 2x. La situación en la polea de la derecha es diferente. Al estar unida mediante muelles FE1 FE2 FE4 FE4 * FE3 FE3 y * FE5 * FE6 FE5 FE6 * FE6 * FE5 FI FA FP= mg tanto al soporte fijo como a la masa, la determinación de lo que se desplaza debe establecerse a través de un equilibrio de fuerzas. Si la masa se desplaza una cantidad x, la polea se desplazará hacia abajo una cantidad desconocida, y (ver figura siguiente). La distancia, d, de la polea a la masa habrá aumentado una cantidad igual al descenso de la masa menos el descenso de la polea: d = (x-y). De acuerdo con esto, el muelle de constante 2k se alarga una cantidad y, mientras que el muelle de constante k/2 se alarga 2(x-y). Los valores de las fuerzas asociados a la polea izquierda y a la masa, pueden expresarse: FE 3 = FE1 + FE 2 = − 4 kx y los valores asociados a la otra polea: FE 4 = −2 ky 8 Formulación de la ecuación del movimiento FE*5 = FE*6 = − FE5 = − FE6 = k 2( x − y ) = k ( x − y ) 2 Planteando el equilibrio de fuerzas verticales en dicha polea, se obtie...
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