Unformatted text preview: VIBRACIONES DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
(Curso 2012-13)
Nomenclatura i Tema 1 Formulación ecuación de movimiento
Dinámica Newtoniana
1
2
3
4
5
6
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8
9
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11
12
13
14 Sistema con dos poleas sin masa
Sistema con cuatro poleas sin masa
Sistema con cuatro poleas, una de ellas con masa
Sistema con dos poleas
Sistema con dos poleas sin masa y muelles en serie
Disco con rodadura sin deslizamiento
Sistema con una polea con masa
Péndulo con resortes
Masa dentro de tubo giratorio
Péndulo con rotación alrededor del eje vertical
Disco suspendido de cuatro cables
Péndulo unido a disco con rodadura sin deslizamiento
Sistema con movimiento de la base
Automóvil con carrito. Sistema degenerado 1
2
3
5
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8
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11
13
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18
20
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23 Dinámica Lagrangiana
15
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17
18
19
20
21
22 Sistema con cuatro poleas, una de ellas con masa
Disco con rodadura sin deslizamiento
Péndulo compuesto
Masa dentro de tubo giratorio
Conjunto barra-disco-masa
Disco suspendido de cuatro cables
Muelles inclinados
Péndulo con rotación alrededor del eje vertical 25
26
27
29
31
36
37
40 Condición inicial en posición. Consideración del peso
23
24
25
26
27
28
29
30 Sistema con dos poleas sin masa
Caída de cuerpo sobre suspensión sin masa
Caída de cuerpo sobre suspensión con masa
Caída de masa suspendida de un cable
Masas unidas por resorte cayendo dentro de un tubo
Choque de masa suspendida de un cable
Masa colgada de polea con rodadura sin deslizamiento
Expresión de fuerza transmitida 42
44
46
49
50
51
53
55 Condición inicial en velocidad. Dinámica impulsiva.
31 Choque plástico sobre péndulo simple invertido
32 Choque elástico y plástico sobre péndulo invertido
33 Choque elástico sobre sistema con varias masas 56
56
62 Rozamiento seco
34 Plano inclinado
35 Disco giratorio con ranura
36 Masa sobre carrito 65
65
66 Sustitución de masas distribuidas por concentradas. Método de
Rayleigh
37
38
39
40
41 Vibraciones transversales. Viga en voladizo con muelle
Vibraciones longitudinales
Vibraciones torsionales
Forjado sustentado por dos pilares
Movimiento de la base 68
70
72
74
76 Tema 2 Vibraciones libres
No amortiguadas
42 Caída de vehículo
43 Masas unidas por resorte cayendo dentro de un tubo
44 Comparación entre ejes con y sin sección constante 77
79
80 Con amortiguamiento viscoso
45
46
47
48 Decremento logarítmico
Oscilaciones de un barco
Puenting en el puente del Alamillo
Choque, separación y fuerza máxima 84
86
86
89 Con rozamiento seco
49
50
51
52
53
54 Cálculo de número de ciclos hasta que se pare
Otro de cálculo de número de ciclos hasta que se pare
Número de ciclos para la parada con velocidad inicial
Separación tras choque plástico
Choque, separación y fuerza máxima
Masas con y sin deslizamiento relativo 92
93
94
95
96
99 Con amortiguamiento estructural
55 Determinación de la constante de amortiguamiento 102 Tema 3 Vibraciones forzadas periódicas
Rotor desequilibrado
56 Rotor sobre pórtico
57 Modificación de la rigidez del sistema
58 Reducción de vibraciones 103
105
107 Movimiento de la base
59
60
61
62 Contactor eléctrico
Medida de vibraciones en edificios
Terremoto
Varillas elásticas con bolas en los extremos 109
111
113
115 Transmisibilidad
63
64
65
66 Cálculo de la rigidez de un aislamiento de una máquina herramienta
Diseño de aisladores sin amortiguamiento
Diseño de aisladores con amortiguamiento
Motobomba sobre pórtico 117
118
120
121 Excitación armónica
67 Viga biapoyada 124 68 Chimenea
69 Aerogenerador 125
128 Excitación periódica. Series de Fourier
70 Onda cuadrada de presión 130 Tema 4 Vibraciones forzadas no periódicas
Funciones elementales
71
72
73
74
75
76
77 Sistema en el interior de un vehículo frenando
Rotura del cable de un montacargas
Número de ciclos para la parada ante excitación escalón
Deslizamiento relativo entre dos masas
Determinación de la altura de caída de una caja
Sistema sobre plano inclinado con rozamiento seco
Escalón +armónicas 133
134
137
139
141
143
144 Combinación de fuerzas elementales
78
79
80
81
82 Excitación senoidal de medio ciclo de duración
Pulso cuadrado
Proceso de llenado de un petrolero
Pulso triangular
Coche sobre puente 146
148
150
152
155 Integral de Duhamel
83 Excitación senoidal de medio ciclo de duración
84 Pulso triangular 158
159 Varios
85 Proceso de frenado de un montacargas
86 Vehículo sobre carretera irregular 161
165 NOMENCLATURA En este libro, se va a emplear siempre la misma nomenclatura, tanto en los desarrollos como
en la figuras. Vector
Un vector se representará siempre en negrilla. Ejemplos:
u: vector de posición.
X: vector de posición.
V: vector velocidad.
F: vector de fuerza.
En las figuras, si la dirección de un vector es la de uno de los ejes de coordenadas y el sentido
del vector varía durante las fases del movimiento que desea representarse, se representará
siempre con el sentido positivo. El signo de la componente del vector en cada instante estará
definido por su expresión matemática.
Ejemplo. Ante el movimiento de una masa en dirección
x, la fuerza de inercia estará representada como se
muestra en la figura. El módulo y sentido estarán
definidos mediante su expresión matemática. y v FI = −m&x& u
FI Para evitar confusiones, si el vector tiene siempre un
sentido constante y en la dirección de uno de los ejes
x
x de coordenadas, también se representará siempre con
el sentido positivo. Su sentido real se determinará de su
expresión matemática en función de sus componentes. Componente de un Vector
Las componentes de un vector se representarán siempre en letra cursiva. Ejemplos: u=xi+yj x e y son las componentes del vector. Su valor puede ser positivo o
negativo. X=xi x es la componente según esa dirección. V = x& i + y& j x& e y& son las componente del vector. F = Fx i + Fy j + Fz k Fx, Fy, y Fz son las componentes del vector fuerza, F. F=Fi F es la componente x del vector. En las figuras, si la dirección de la componente es la de uno de los ejes de coordenadas y su
sentido varía durante las fases del movimiento que desea representarse, se representará
siempre con el sentido positivo. El signo de la componente del vector en cada instante estará
definido por su expresión matemática. ii
y y
v
x
u
x x N FI FI
FIx Para evitar confusiones, si el vector tiene siempre un
sentido constante y en la dirección de uno de los
ejes de coordenadas, también se representará
siempre con el sentido positivo. Su sentido real se
determinará de su expresión matemática en función
de sus componentes. FI = Fi i = FI x i
x Módulo de un vector o de una componente
Se representa con letra “normal”. En las figuras se representará en la dirección en que actúa.
Ejemplos:
x = -A A es el módulo de x. Fy = P = -mg mg es el módulo del peso. Fx = R R es el módulo de la fuerza en dirección y.
y
Fy mg
P Fx
R x
x A Breve justificación
De hecho, en un sistema vibrante, habrá distintos tipos de fuerzas con dirección constante,
pero que varían su sentido dependiendo del instante de la vibración en que se encuentren. Por
ejemplo, durante cualquier vibración con movimiento en una sola dirección, la aceleración
cambiará de sentido y, por tanto, las fuerzas de inercia. Para evitar tener que saber antes de
resolver el problema el sentido de cualquier vector, lo mejor será representarlo con su sentido
positivo, sabiendo que en cada instante tendrá el sentido correspondiente a la fase del
movimiento en que se encuentre. Por ejemplo, si se representan las fuerzas que actúan sobre
la masa de un sistema como el de la figura, las fuerzas elásticas y las de inercia dependen de
la posición y de la aceleración, que variarán de signo durante el movimiento vibratorio. Por ello,
en la figura parece más conveniente representar las fuerzas en sentido positivo, sabiendo que FE = −kx FI = −m&x&
y que serán positivas o negativas, dependiendo del sentido del desplazamiento y la aceleración
respectivamente. k m FE FI iii
Evidentemente, si sólo actúan las dos fuerzas representadas en dirección horizontal, para que
exista el equilibrio debe cumplirse la condición FI + FE = 0
O lo que es lo mismo: FI = − FE
Lo que implica: &x& = − k
x
m Sin embargo, dependiendo de que la posición sea una u otra, la fuerza elástica tendrá un signo
u otro. Tema 1
FORMULACIÓN DE LA
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
Dinámica Newtoniana
Problema 1: Sistema con dos poleas sin masa Sin masa k k Inextensibles
m
c El sistema de la figura está situado en el plano vertical. La masa m solo tiene permitido el
movimiento en dirección vertical; está conectada al soporte superior mediante dos cables como
los mostrados, que se suponen rígidos a tracción a un lado de la polea y flexibles en el otro. La
constante de rigidez de cada cable es k. Dichos cables no pueden deslizar en las poleas, que
se suponen sin masa y conectadas a la masa con cables inextensibles. En la parte inferior, la
masa está unida al soporte mediante un amortiguador de constante c. Plantea la ecuación del
movimiento del sistema en vibración libre. Solución.
Para el planteamiento de las ecuaciones del movimiento se adopta el criterio de signos por
el que los movimientos y fuerzas se consideran positivos hacia abajo y los giros positivos en
sentido antihorario.
Aislando el conjunto masa-poleas, las fuerzas que actúan sobre dicho conjunto pueden
representarse como en la figura siguiente, donde FE son las fuerzas elásticas, FI las de inercia,
FA las de amortiguamiento y FP el peso.
Como las poleas no tienen masa, para que haya equilibrio de momentos alrededor de sus
ejes, las fuerzas a uno y otro lado de cada polea deben ser iguales: FE1 = FE 2 ; FE 3 = FE 4 FE1 FE2 FE3 FE4 Para determinar el valor de las fuerzas elásticas, deben
analizarse los movimientos de las poleas al desplazar la masa.
Cuando la masa m se desplaza una cantidad x, cada
polea se desplaza esa misma cantidad hacia abajo. Para
conseguir ese desplazamiento, la polea debe realizar un
movimiento de rodadura alrededor de la rama rígida del cable.
Ante esa rodadura, el punto P de tangencia inicial entre polea
y cable, pasará a otra posición, P´. El nuevo punto de +
FA FI
FP= mg 2 Formulación de la ecuación del movimiento tangencia será el punto S y la longitud que debe alargarse el cable durante
el movimiento, Δl. será la distancia PP´:
Por otro lado, si el centro de la polea se ha desplazado una distancia x,
la polea habrá girado un ángulo θ, tal que k x = −rθ P
r Donde r es el radio de la polea. En la figura puede comprobarse que el
alargamiento del cable es Δl = PP′ = PS + SP′ = x − rθ = 2 x
Nota. Nótese que el valor del ángulo θ de las poleas es función de x, por lo que esta variable P’ no constituye un nuevo grado de libertad. S
θSP’ Otra forma de determinar el alargamiento del cable es considerar que al
desplazarse la polea una distancia x, la longitud de cada una de las ramas del cable (derecha e
izquierda) debe aumentar en una cantidad x, con lo que la longitud total del cable habrá
aumentado una cantidad 2x.
Si el incremento de longitud de la parte elástica del cable es 2x, su tensión será Tcable = 2kx
Teniendo en cuenta que las poleas no tienen masa, la tensión en la rama izquierda debe ser
igual a la de la rama derecha. Por tanto, cada una de las fuerzas elásticas puede expresarse, FE1 = FE 2 = FE 3 = FE 4 = −2kx
Las fuerzas producidas por el amortiguador serán FA = −cx&
las de inercia tienen la expresión FI = −m&x&
y las del peso: F p = mg
La ecuación del movimiento se obtendrá del equilibrio: ∑F = F I + FA + FE1 + FE 2 + FE 3 + FE 4 + Fp = 0 Por tanto, será: m&x& + cx& + 8kx = mg
Nota. En el problema 4 se verá que en casos como éste, con poleas de masa despreciable, si los cables son flexibles
en toda su longitud se obtiene la misma solución. Esto no ocurrirá si alguna de las poleas tiene masa apreciable. Problema 2: Sistema con cuatro poleas sin masa
El sistema de la figura se mueve en el plano horizontal y sólo está permitido el movimiento
en la dirección x de la figura. Se considera que las poleas tienen masa despreciable, al igual
que las barras de unión de las poleas a la masa y al soporte, que se consideran inextensibles.
Los cables se suponen que son extensibles sólo en uno de sus extremos, como se representa
en la figura, con una rigidez k. Plantear la ecuación del movimiento del sistema de la figura y
determinar su frecuencia natural. Dinámica Newtoniana 3 k
k m
c Solución.
Ante un desplazamiento x de la masa, cada rama del cable aumentará su longitud una
distancia x. Por tanto, cada cable se alargará una longitud 3x, como se muestra en la figura
siguiente. Por tanto, el incremento de tensión del cable en cualquier
punto del cable será: T = 3kx r P Es decir: FEi = −3kx
La ecuación del movimiento se obtendrá a partir del equilibrio de
fuerzas sobre la masa:
6 ∑F = ∑F
i =1 Ei + FA + FI = 0 P’ con FA = −cx&
y FI = −m&x&
Sustituyendo FE i, FA y FI en la ecuación de equilibrio, se obtiene: m&x& + cx& + 18kx = 0
La frecuencia natural podrá expresarse, por tanto: ωn = 18k
m Problema 3: Sistema con cuatro poleas, una de ellas con masa
El sistema de la figura se mueva en el plano horizontal y la masa m sólo tiene permitido el
movimiento en dirección x. La polea A tiene radio R y momento de inercia, I, alrededor de su
centro, mientras que las masas y momentos de inercia de las restantes poleas son
despreciables. Los cables se suponen que son extensibles sólo en uno de sus extremos, como
se representa en la figura, con una rigidez k. Obtenga la frecuencia natural del sistema: 4 Formulación de la ecuación del movimiento
Polea A
k
k m
c Solución.
Como se ha visto anteriormente al desplazar la masa una cantidad x cada muelle se alarga
una cantidad 3x. En el cable de la izquierda, donde las poleas tienen masa despreciable, al
alargarse el cable una cantidad 3x, y la tensión en toda su longitud será FE2 FE3 FE4 T = 3kx FE5
FE6 FE1 +
FA FI con lo que las fuerzas elásticas aplicadas a la masa
aislada de la figura pueden expresarse FE1 = FE 2 = FE 3 = − 3kx
Por otro lado, ante el desplazamiento de la masa, la
polea A girará un ángulo θ, cuyo valor puede
determinarse con ayuda de la figura siguiente. El
punto P del cable se habrá desplazado hasta la
posición P´, una distancia: PP′ = 2 x
con lo que la polea A habrá girado un ángulo: θ=
r P 2x
R De acuerdo con ello, ante una aceleración &x& de la masa, la
aceleración angular de la polea será: θ&& = 2
&x&
R Para determinar las fuerzas elásticas producidas por el cable
conectado con la polea A, debe plantearse previamente el equilibrio
de momentos en dicha polea. Planteando el equilibrio de momentos
alrededor del centro de la polea,
P’ ∑M
MI =0 puede escribirse M I + RFE*5 − RFE*6 = 0 c
FE5 C *
FE6 Donde 2I
M I = − Iθ&& = − &x&
R Dinámica Newtoniana 5 Por otro lado, si el muelle situado a la derecha de la polea A se ha alargado una longitud 3x,
la fuerza FE*6 en esa rama del cable será: FE*6 = 3kx
Sustituyendo las expresiones de MI y FE*6 en la ecuación de equilibrio de la polea se
obtiene: FE*5 = FE*6 − MI
2I
= 3kx + 2 &x&
R
R Teniendo en cuenta que las fuerzas en la polea A son de signo contrario a las aplicadas por
la misma rama del cable sobre la masa, puede escribirse: FE*5 = − FE5
FE*6 = − FE 6
Igualmente, del equilibrio de momentos en la polea de masa despreciable puede deducirse
que FE 4 = FE 5
Aplicando finalmente equilibrio de fuerzas sobre la masa m, se obtiene: FI + FA + FE1 + FE 2 + FE 3 + FE 4 + FE 5 + FE 6 = 0
Sustituyendo las expresiones de todas las fuerza de la ecuación anterior y simplificando, se
obtiene: 4I ⎞
⎛
⎜ m + 2 ⎟&x& + cx& + 18kx = 0
R ⎠
⎝
Por lo tanto la frecuencia natural es: 18K
4I
m+ 2
R ωn = Problema 4: Sistema con dos poleas.
a. Resolver el problema 1 considerando que los cables son flexibles en toda su longitud y
las poleas tengan masa despreciable.
b. Discutir el planteamiento de la ecuación del movimiento en caso de que los cables sean
flexibles en toda su longitud y una polea tenga una masa apreciable.
2k 2k 2k
m
c 2k Formulación de la ecuación del movimiento 6 Solución.
a. Cada cable completo tiene una rigidez k, con distribución uniforme de la
rigidez. Por ello, independientemente de las características de las poleas a
las que van conectados, la parte elástica de cada cable puede considerarse
concentrada en dos partes, una a cada lado de la polea. En ese caso, de
acuerdo con la figura, para que el conjunto del cable tenga una rigidez keq=k,
cada rama debe tener una rigidez 2k: 2k
keq
2k FE2 FE1 FE3 1
1
1
=
+
keq 2k 2k FE4 → k eq = k Por tanto, la figura mostrada en el enunciado es
equivalente a la del problema Nº 1, pero con la rigidez de
los cables distribuida en toda su longitud. +
FA FI
FP= mg Con el sistema en vibración libre, situación en la
que no hay fuerza externa aplicada, y dado que las poleas
son de masa despreciable, el equilibrio de momentos
alrededor del centro de cada polea implica que FE1 = FE 2 y FE 3 = FE 4 Ello quiere decir que ante cualquier desplazamiento vertical
de las poleas, si la rigidez del cable es igual a uno y otro lado de las poleas, su alargamiento
también debe ser igual a uno y otro lado de la misma. Por tanto, no se producirá giro alguno
de las poleas: θ=0. El sistema tiene, por tanto un grado de libertad como el problema Nº 1.
Las fuerzas elásticas aplicadas a las poleas pueden deducirse fácilmente
considerando un desplazamiento x de la masa. En ese caso, cada rama del cable se habrá
alargado una cantidad x, y ejercerá una fuerza: FE i = −2 kx
Las fuerzas del peso, las de inercia y de amortiguamiento se comportarán igual que en el
problema Nº 1. Por tanto, del equilibrio de fuerzas aplicadas a la masa se obtiene la
ecuación: m&x& + cx& + 8kx = mg
b. En el caso de que una de las poleas tenga masa, del equilibrio de momentos alrededor
de dicha polea con masa se obtiene: M I + rFE 3 − rFE 4 = 0 FE4 FE3
MI
c Donde FE 3 = − 2 k (x + rθ ) r FE 4 = − 2 k (x − rθ )
Por tanto, puede escribirse: Iθ&& + 4kr 2θ = 0
La diferencia con el caso anterior es que al ser MI ≠0, θ será también distinta de cero. Por
otro lado, a diferencia del caso del problema Nº 3, al ser el cable flexible a ambos lados de
la polea, no existe una relación cinemática definida entre x y θ. Ello implica que hay dos
variables que son necesarias para definir la configuración del sistema. El problema se
resolvería planteando al mismo tiempo la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales
aplicadas al conjunto masa-poleas. En ese caso, aparecerá otra ecuación y del conjunto de
las dos ecuaciones diferenciales podrán determinarse las dos variables. Dinámica Newtoniana 7 Es decir, es sistema es de dos grados de libertad. Y su planteamiento completo no se
aborda en este trabajo, dedicado a sistemas de un grado de libertad. Problema 5: Sistema con dos poleas sin masa y muelles en serie.
Escribir la ecuación del movimiento del sistema de la figura, en el que las masas de las
poleas son despreciables. k 2k
k/2 m
c Solución.
Cuando la masa se desplaza una cantidad x, la polea de la izquierda también baja una
cantidad x, y consecuentemente el cable unido a ella se alarga una cantidad 2x.
La situación en la polea de la derecha es diferente. Al estar unida mediante muelles FE1 FE2 FE4 FE4
*
FE3
FE3 y *
FE5 *
FE6 FE5 FE6 *
FE6 *
FE5 FI
FA FP= mg tanto al soporte fijo como a la masa, la determinación de lo que se desplaza debe
establecerse a través de un equilibrio de fuerzas. Si la masa se desplaza una cantidad x, la
polea se desplazará hacia abajo una cantidad desconocida, y (ver figura siguiente). La
distancia, d, de la polea a la masa habrá aumentado una cantidad igual al descenso de la
masa menos el descenso de la polea: d = (x-y). De acuerdo con esto, el muelle de
constante 2k se alarga una cantidad y, mientras que el muelle de constante k/2 se alarga
2(x-y).
Los valores de las fuerzas asociados a la polea izquierda y a la masa, pueden
expresarse: FE 3 = FE1 + FE 2 = − 4 kx
y los valores asociados a la otra polea: FE 4 = −2 ky 8 Formulación de la ecuación del movimiento FE*5 = FE*6 = − FE5 = − FE6 = k
2( x − y ) = k ( x − y )
2 Planteando el equilibrio de fuerzas verticales en dicha polea, se obtie...
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