teoria200115.pdf - Cap\u00edtulo 1 INTRODUCCI\u00d3N 1.1 EL FEN\u00d3MENO VIBRATORIO EN SISTEMAS MEC\u00c1NICOS Los sistemas mec\u00e1nicos ya sean m\u00e1quinas o estructuras

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Unformatted text preview: Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1 EL FENÓMENO VIBRATORIO EN SISTEMAS MECÁNICOS. Los sistemas mecánicos, ya sean máquinas o estructuras, al sufrir un choque o ser sometidos a la acción de fuerzas o movimientos variables con el tiempo, responden modificando sus estados de equilibrio, con unos cambios de configuración que pueden perturbar su normal funcionamiento. Cuando la excitación tiene determinadas características de variación con el tiempo, la respuesta es de tipo vibratorio y puede alcanzar amplitudes importantes, llegando en algunos casos a ocasionar el fallo estructural del sistema. Este fenómeno puede suceder incluso con intensidades pequeñas de la acción excitadora. Las amplitudes de las vibraciones producidas en cualquier sistema dependen, por un lado, de la ley de variación con el tiempo de la excitación, y por otro, de las características mecánicas del sistema considerado. Como ejemplo de vibraciones en sistemas mecánicos pueden citarse: las que se producen en un motor alternativo de combustión interna en funcionamiento, las transmitidas por el motor a la estructura de un vehículo automóvil o de un barco, las producidas por la ondulación y rugosidad de la carretera sobre un vehículo en circulación, las producidas por un terremoto sobre un edificio, las generadas en los puentes al paso de los vehículos, las producidas por desequilibrios en máquinas rotativas, o las generadas por el proceso de corte en las máquinas herramientas. La Figura 1.1 muestra esquemas de algunos de estos sistemas. En unos casos, como suele ocurrir en los ejemplos mencionados de los automóviles, las vibraciones perturban el buen funcionamiento al producir molestias a los ocupantes. En otros, por ejemplo en las máquinas herramientas, el principal problema producido por las vibraciones de la herramienta de corte, de la pieza a mecanizar, o de ambas simultáneamente es la falta de precisión de las piezas fabricadas. En el caso de los edificios sometidos a terremotos, las sobrecargas producidas sobre algunos elementos durante la vibración pueden llegar a originar el fallo, con resultados a veces catastróficos. En algunos sistemas mecánicos ocurren vibraciones de menor amplitud que no producen el fallo debido al pico máximo de carga producido. Sin embargo, cuando éstas se producen durante un tiempo suficientemente largo, pueden llegar a inducir el fallo por un proceso de deterioro progresivo denominado fatiga. Viento Figura 1.1 En general, todos los sistemas que tengan masa y capacidad para la deformación elástica son susceptibles de vibrar libremente. La mayoría de las máquinas y estructuras están sometidas a vibración de algún tipo y su diseño requiere la consideración del comportamiento vibratorio. Deben diseñarse para evitar el mal funcionamiento o el fallo debido a vibraciones excesivas. Este objetivo puede conseguirse, ya sea actuando sobre la excitación, reduciendo los valores de las fuerzas o movimientos aplicados, o modificando las características de los sistemas, haciendo que respondan con vibraciones de menor intensidad. Por ejemplo, en el caso de vehículos automóviles o de ferrocarriles, para aumentar el confort de los ocupantes se actúa mejorando las carreteras y vías, lo que reduce la excitación y como consecuencia la respuesta. Al mismo tiempo, también se actúa mejorando los diseños de las suspensiones de forma que se reduzca la respuesta a cualquier excitación. En el caso de los edificios susceptibles de sufrir terremotos, éstos deben diseñarse para garantizar que las vibraciones no llegarán a producir el deterioro o fallo de los mismos. No todo en las vibraciones de los sistemas mecánicos son aspectos negativos; también tienen aspectos positivos derivados de la posibilidad de aplicarlas con fines útiles. Este es el caso de los sistemas para vibrado del hormigón, la recogida de aceitunas por vibración, los alimentadores vibratorios de pequeñas piezas en cadenas de producción, los sistemas de clasificación de productos, la limpieza por ultrasonidos, etc. La Figura 1.2 muestra algunos de estos ejemplos. Alimentadores vibratorios Limpieza con ultrasonidos Perforación de suelos Figura 1.2 Como se ha indicado, la respuesta vibratoria de cualquier sistema mecánico puede modificarse actuando sobre sus características físicas. De esta forma, es posible adaptar en lo posible la respuesta a las necesidades del caso que nos ocupe. Para ello es fundamental poder modelar la respuesta vibratoria ante cualquier excitación y analizar la sensibilidad de la misma a las modificaciones de las características físicas de los sistemas o a variaciones de la excitación. 1.2 CONCEPTOS BÁSICOS 1.2.1. Movimiento vibratorio. Un movimiento vibratorio es la variación de la configuración de un sistema con respecto al tiempo alrededor de una posición de referencia. Estos movimientos pueden clasificarse de diversas formas, dependiendo del aspecto considerado. 1. Una clasificación posible consiste en distinguir entre los movimientos periódicos y los aperiódicos. • Movimientos periódicos: son movimientos en los que la configuración del sistema se repite a intervalos iguales de tiempo (Figura 1.3a). En los movimientos periódicos se pueden definir algunos parámetros característicos, como son: − Ciclo: es la evolución del sistema entre un instante y el siguiente en que vuelven a repetirse las mismas características del movimiento. − Periodo: es el tiempo que transcurre hasta que se repite el movimiento, esto es, el tiempo necesario para la realización de un ciclo completo. Normalmente se denomina T. − Frecuencia: es el número de ciclos que se producen en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo. Se suele representar por el símbolo f ( f = 1/T ) y la unidad es el ciclo por segundo o Hercio (Hz). Esta característica de la vibración se representa también mediante lo que se denomina velocidad angular, frecuencia angular o pulsación, cuyo símbolo es ω (ω = 2π /T = 2π f ) y su unidad el radián por segundo. Generalmente, tanto a f como a ω se les denomina simplemente frecuencia, estando relacionadas por la constante 2π. x t t T a. Movimiento periódico b. Movimiento aperiódico Figura 1.3 • Movimientos aperiódicos: son movimientos en los que no se produce una repetición de la secuencia a intervalos iguales de tiempo (Figura 1.3b). Los movimientos aperiódicos pueden dividirse en: − Deterministas: son movimientos en los que puede conocerse su evolución en el tiempo, de forma que en cualquier instante es posible determinar la posición del sistema vibrante. − Aleatorios: son los movimientos en los que no es posible conocer de forma precisa su evolución con el tiempo. La evolución sólo puede definirse de forma estadística. A veces, en los movimientos aperiódicos, se define lo que se denomina el periodo medio, Tm. Éste representa el tiempo medio de paso de la variable por la posición de referencia con pendiente del mismo signo. La Figura 1.4 muestra un ejemplo de movimiento aperiódico con periodo medio, Tm = t1 / n, segundos. La frecuencia media, fm, se define como la inversa del periodo medio. En el caso del ejemplo de la Figura 1.4, su valor es, fm = n / t1. x 0 1 n 2 t t1 Figura 1.4 b) Dependiendo de la evolución de los parámetros característicos con el tiempo, el movimiento vibratorio puede dividirse en: • Amortiguado: se produce cuando los valores máximos de los desplazamientos disminuyen progresivamente. • Amplificado: cuando los valores máximos de los desplazamientos aumentan con el tiempo. • Constante: cuando los máximos de los desplazamientos permanecen constantes con el tiempo. c) Otra posible clasificación de las vibraciones es atendiendo a la existencia o no de fuerza externa que la produzca. Así, las vibraciones se denominan: • Libres: cuando no existen fuerzas exteriores aplicadas durante la vibración. Generalmente se producen cuando se aparta un sistema de su posición de equilibrio, o se le comunica una velocidad o energía (caso del choque). • Forzadas: cuando durante el movimiento existe una fuerza exterior que obliga al sistema a vibrar. d) Dependiendo de la evolución de los parámetros característicos con el tiempo, puede hacerse otra clasificación, además de la indicada en el punto b): • Vibración transitoria: cuando su duración es corta, reduciendo su amplitud hasta desaparecer a los pocos ciclos de su inicio (Figura 1.5a). Es la vibración que se produce normalmente ante una perturbación momentánea del sistema o ante un desplazamiento de la posición de equilibrio, dejándolo libre posteriormente. Generalmente es una vibración libre amortiguada. • Vibración permanente: se considera permanente si su duración es suficientemente larga en el tiempo, manteniendo sus parámetros aproximadamente constantes (Figura 1.5b). Es la que se produce normalmente ante una fuerza externa variable de larga duración. Generalmente es una vibración forzada. Su duración es normalmente igual a la duración del proceso de excitación. a. Vibración transitoria b. Vibración permanente Figura 1.5 e) Considerando su comportamiento durante el movimiento, las vibraciones pueden clasificarse también en: • Lineales: si la ecuación que define el movimiento es una ecuación lineal. En estos casos, la relación entre la excitación y la respuesta de los sistemas admite el principio de superposición. • No lineales: cuando la ecuación que define el movimiento no es lineal. En estos casos no es aplicable el principio de superposición. En realidad, la mayoría de los sistemas tienen un comportamiento con algún grado de no linealidad. Sin embargo, la desviación respecto a la linealidad es pequeña en muchos casos. Por ello, en la práctica muchos de estos sistemas se estudian mediante modelos matemáticos lineales, siempre que esta simplificación no suponga un error importante. A veces, para que la linealización sea posible sin errores importantes hay que hacer ciertas hipótesis de funcionamiento. Un ejemplo de ello es la suposición de pequeños desplazamientos, que suele ser necesaria para que sea admisible la linealización de muchos sistemas mecánicos. En cualquier caso, siempre debe comprobarse que las hipótesis realizadas para poder linealizar el sistema son admisibles. 1.2.2. Grados de libertad Se definen como grados de libertad de un sistema a los parámetros necesarios para definir su configuración en cualquier instante. Las figuras 1.6 a 1.8 muestran algunos ejemplos de sistemas con diferente número de grados de libertad. En un sistema como el de la Figura 1.6a, formado por una masa, a la que sólo se le permite el movimiento vertical, suspendida de un muelle de masa despreciable, el sistema estará totalmente definido conociendo el valor de la distancia x al punto de referencia. Así pues, este sistema tiene un solo grado de libertad, que es el movimiento vertical. Otro ejemplo de sistema con un grado de libertad es el péndulo mostrado en la Figura 1.6b. Su posición estará totalmente definida si se conoce el ángulo θ formado con la vertical. También quedaría totalmente definida si se conoce la coordenada x o y de un punto determinado. La elección del parámetro o parámetros usados como grados de libertad no es única. x(t) x1(t) Figura 1.6 La Figura 1.7a, representa un sistema de dos masas con posibilidad de movimiento únicamente en dirección vertical que están unidas mediante muelles entre sí y a un soporte fijo. La posición de cualquier punto de este sistema estará totalmente definida conociendo la posición, xi, del centro de cada una de las masas. Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad. En el caso de la figura 1.7b, suponiendo que al punto O sólo se le permite moverse verticalmente, para definir la posición de cualquier punto es necesario conocer los valores de la posición, x, del punto O y el ángulo, θ, que forma la recta que une ese punto y el centro del disco, C. Igualmente podían haberse tomado como parámetros para definir la configuración las coordenadas x de los puntos O y C. En cualquier caso, dos parámetros son suficientes para definir la configuración y poder determinar la posición de cualquier otro punto. Por tanto, este sistema tiene dos grados de libertad. x2(t) O C (t) a b Figura 1.7 Un sistema que puede definirse por un número finito de grados de libertad, se dice que es discreto. Si el número de parámetros necesarios para definir su configuración en cualquier instante es infinito, se dice que el sistema es continuo. Éste es el caso de la figura 1.8a, donde para definir la configuración del sistema, es necesario conocer la posición, y(x), de cada uno de los puntos de la viga en voladizo. Otro tanto ocurre en el pórtico de la figura 1.8b, donde la configuración del sistema sólo estará definida si se conoce la posición de todos sus puntos. Figura 1.8 Los sistemas reales son continuos pero las hipótesis simplificativas que se les aplican, que se verán posteriormente en este texto, hacen posible su estudio como sistemas discretos con una buena aproximación. 1.2.3. Movimiento armónico simple. Representación. Una gran cantidad de las excitaciones que se producen normalmente son armónicas. Incluso en el caso de que éstas no sean armónicas pero sí periódicas, mediante el análisis de Fourier puede realizarse una descomposición de la misma en una serie de armónicos. Las vibraciones libres de los sistemas lineales, como se verá posteriormente, también son movimientos armónicos o el resultado del producto de un movimiento armónico por una exponencial decreciente con el tiempo. Dadas las circunstancias anteriores, antes de comenzar el estudio de las vibraciones, es conveniente hacer un pequeño repaso del movimiento armónico. El movimiento armónico simple se define como el movimiento rectilíneo de un punto en el que la aceleración es siempre proporcional a la distancia a un punto fijo de la trayectoria y está dirigida hacia ese punto fijo. La forma más usual de expresar el movimiento del punto en función del tiempo es mediante la expresión: x(t ) = A cos(ω t + ϕ) (1.1) donde A es la amplitud (Figura 1.9), ω es la velocidad angular o pulsación (rad/s) y ϕ es la fase (rad). Figura 1.9 La frecuencia, f, del movimiento se puede definir mediante la ecuación f = ω 2π (1.2) cuya unidad es el Hz o ciclo por segundo. El periodo, T, se puede expresar: T= 1 2π = f ω (1.3) que, de acuerdo con las unidades de los otros parámetros, tendrá como unidad el segundo (s). Derivando dos veces la ecuación (1.1), se obtiene: &x&(t ) = −ω 2 A cos(ω t + ϕ) = −ω 2 x(t ) (1.4) Comprobándose así que la ecuación (1.1) cumple la definición de movimiento armónico. De la ecuación (1.1) puede obtenerse otra expresión usual del movimiento armónico simple: x(t ) = A(cos(ωt ) cos(ϕ ) − sen(ωt )sen(ϕ )) (1.5) x(t ) = A1 cos(ω t ) + B1 sen(ω t ) (1.6) donde A1 = A cos ϕ y B1 = −A sen ϕ , relaciones de las que pueden obtenerse las expresiones inversas: A = A 12 + B12 (1.7) ⎛ B ⎞ ϕ = tg −1 ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠ (1.8) y Ejemplo: Determinación de la amplitud de vibración Se desea conocer la amplitud de la vibración armónica x(t ) = 3 cos(5t ) − 4sen(5t ) m Solución: A = 3 2 + 4 2 = 5 m Ejemplo: Resolución de una ecuación Se desea conocer el primer instante de tiempo en el que el sistema que vibra siguiendo la ecuación del ejemplo anterior se encuentra en la posición x=2 m Solución: Hay que resolver la ecuación: 3 cos(5t ) − 4sen(5t ) = 2 Resulta más sencillo si se expresa según lo indicado en la ecuación. (1.1). Así: x(t ) = A cos(5 t + ϕ) = A(cos(5 t ) cos(ϕ) − sen (5 t )sen(ϕ)) = 3 cos(5t ) − 4 sen(5t ) Identificando términos: 3 = Acos(ϕ ) − 4 = −Asen(ϕ ) Como tanto el seno como el coseno son positivos, el ángulo buscado se encuentra en el primer cuadrante. Dividiendo la segunda ecuación entre la primera se obtiene: tg (ϕ ) = 4 ⇒ ϕ = 0.9273 + 2nπ rad 3 Con n variando entre 0 e infinito. Elegimos, por ejemplo, n=0. La ecuación a resolver se simplifica a: 5 cos(5t + 0.9273) = 2 ⎛2⎞ Cuya solución es: 5t + 0.9273 = arccos⎜ ⎟ ⎝5⎠ Como el coseno es positivo en el primer y en el cuarto cuadrante, las soluciones se pueden expresar como: 5t + 0.9273 = ±2nπ ± 1.1593 Nos interesa el valor de t positivo más pequeño. Se da para n=0 y signo positivo: t= 1.1593 − 0.9273 = 0.0464s 5 Alternativamente, se podría haber resuelto usando la función seno en lugar de la función coseno. En este caso: x(t ) = Asen(5 t + ϕ) = A(sen (5 t ) cos(ϕ) + cos(5 t )sen(ϕ)) = 3 cos(5t ) − 4 sen(5t ) Identificando términos: 3 = Asen(ϕ ) − 4 = Acos(ϕ ) Ahora el seno es positivo pero el coseno es negativo. El ángulo buscado se encuentra en el segundo cuadrante. Dividiendo la primera ecuación entre la segunda se obtiene: tg (ϕ ) = − 3 ⇒ ϕ = π - 0.6435 + 2nπ rad 4 Con n variando entre 0 e infinito. Elegimos, por ejemplo, n=0. La ecuación a resolver se simplifica a: 5sen(5t + 2.4981) = 2 Nótese que lógicamente 2.4981-0.9273= π 2 ⎛2⎞ La solución de la ecuación anterior es: 5t + 2.4981 = arcsin⎜ ⎟ ⎝5⎠ Como el seno es positivo en el primer y en el segundo cuadrante, las soluciones se pueden expresar como: 5t + 2.4981 = ±2nπ + 0.4115 5t + 2.4981 = ±2nπ + π − 0.4115 Nos interesa el valor de t positivo más pequeño. Se da para n=0 y segundo cuadrante: t= π − 0.4115 − 2.4981 5 = 0.0464s Análogamente se puede usar el seno o el coseno de la diferencia. Se deja como ejercicio comprobar que se obtiene el mismo resultado. El movimiento de la ecuación (1.1) puede interpretarse como el valor de la proyección sobre el eje real de un vector de módulo A que gira a velocidad angular ω . La Figura 1.10 muestra un ejemplo de esta interpretación. En ella se ha representado el eje real vertical para mayor facilidad de interpretación de la proyección del vector rotativo. De acuerdo con esta definición, el movimiento armónico simple también puede representarse mediante la ecuación x(t ) = Re(A e i (ωt +ϕ ) ) (1.9) Figura 1.10 Igualmente, para evitar tener que considerar separadamente la parte real e imaginaria, el movimiento puede interpretarse como la resultante de dos vectores rotativos iguales, de módulo A/2 girando en fase, a igual velocidad, pero de sentido contrario (Figura 1.11). En ese caso, la expresión del movimiento será: ( ) A i (ωt + ϕ ) e + e −i (ωt + ϕ ) 2 Donde las partes imaginarias de ambos vectores se anulan entre sí. x (t ) = (1.10) Otra forma de expresar la ecuación anterior es incluyendo el efecto del desfase ϕ en el coeficiente de cada término, con lo que quedará: x (t ) = ( ) 1 A e iϕ e iωt + Ae −iϕ e −iωt = c e iωt + c * e −iωt 2 (1.11) con c= A iϕ e 2 (1.12) Donde es fácil comprobar que c* es el conjugado complejo de c. Figura 1.11 1.2.4. Desarrollo en series de Fourier del movimiento periódico. Mediante el desarrollo en series de Fourier es posible representar un movimiento periódico (Figura 1.3a) como la suma de una serie de armónicos. De acuerdo con ello, un movimiento x(t) con periodo T puede representarse mediante la serie de Fourier: ∞ x(t ) = A0 + ∑ ( Ak cos ω k t + Bk sen ω k t ) (1.13) k =1 Donde: ωk = T 1 A0 = T ∫ 2πk T 2 −T (1.14) x(t ) dt (1.15) 2 T 2 2 Ak = ∫ x(t ) cos ω k t dt T −T (1.16) 2 T 2 2 Bk = ∫ x(t ) sen ω k t dt T −T (1.17) 2 Otro procedimiento para la representación de una señal periódica mediante una serie de Fourier es empleando la notación compleja. Su expresión es: x(t ) = ∞ ∑c e ω k = −∞ i k kt (1.18) Donde T 1 2 c k = ∫ x(t ) e −iω k t dt T −T 2 (1.19) En los casos en que la variable x(t) es real, como ocurre con las vibraciones mecánicas, es fácil comprobar que los coeficientes ck y c-k son complejos conjugados. La figura 1.12 muestra una variable periódica, x(t), en forma de dientes de sierra y su aproximación mediante series de Fourier empleando 3, 5 y 10 términos del desarrollo (k igual a 2, 4 y 9, respectivamente). Puede comprobarse la mejora en la aproximación a medida que se incrementa el número de términos del desarrollo. x(t) k=9 k=4 1 k=2 0 2 1 t 3 Figura 1.12 La función de la figura 1.12 es discontinua. Se observa como las sumas parciales de Fourier convergen puntualmente a x(t) en los puntos de continuidad de x y a la media de los lí...
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