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LIMITS   and   CONTINUITY   and   DIFFERENTIATION WHAT IS THE CONNECTION? 1.  The slope of a function at x=c is found by working with the tangent drawn at the point where x=c.   The function  being DIFFERENTIABLE at x=c means a tangent can be drawn and it has a numerical slope value.   Use the  derivative to get a slope by substituting in x=c. If there is a DISCONTINUITY at that point—no matter whether it be removable or non-removable (ie, no matter  whether it is a hole, vertical asymptote, or step) a tangent cannot be drawn where a y-value is undefined  and  a slope cannot be defined.  No tangent drawn at x=c means the function is NOT DIFFERENTIABLE.   *If a  function is not continuous at x=c,  then it is not differentiable at x=c. However, do not consider the inverse of the * statement to be always true.  The inverse is:  If a function is  continuous at x=c, then it is differentiable at x=c.   It is possible for a function to be continuous at x=c and its tangent drawn at x=c,  but  NOT be differentiable at  x=c.  This occurs where the tangent drawn is vertical .   The slope of a vertical tangent (line) is undefined.  A  function is not differentiable at a point where a vertical tangent is drawn because the slope does not have a  numerical value. Vertical tangents occur at x-values where a function changes direction abruptly; graphically this looks like a  sharp turn, a cusp.   Important to note: if at x=c there is a cusp, then the point at x=c does exist , and a tangent  can be drawn , but it is vertical .  For this situation, the function is continuous at x=c,  but is not differentiable at  x=c. 2.  
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