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Clase 3 - Representación de numeros reales

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Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Escuela de Ingenier´ ıa Departamento de Ciencia de la Computaci´on IIC2343 Arquitectura de Computadores Segundo Semestre 2010 Clase 3: Representaci´on de n´umeros reales c circlecopyrt Alejandro Echeverr´ ıa 1. Motivaci´on Los n´umeros enteros representan s´ olo un porcentaje menor de todos los posibles n´umeros que se pueden representar, por lo que es necesario estudiar como representar n´umeros fraccionales y reales en un com- putador. Sin embargo, la representaci´ on de n´umeros fraccionales presenta una serie de complicaciones y limitaciones que debemos entender para poder ocuparlas correctamente y evitar errores. 2. Fracciones decimales y binarias Un n´umero entero en representaci´ on decimal puede ser representado en su forma posicional como la suma de sus d´ ıgitos ponderado por potencias de la base 10. Por ejemplo el n´umero 112 puede representarse como: 1 × 10 2 + 1 × 10 1 + 2 × 10 0 = 112 (1) De manera similar, un n´umero en representaci´ on binaria puede ser tambi´ en representado en su forma posicional como la suma de sus d´ ıgitos ponderado por potencias de la base, en este caso 2. Por ejemplo el n´umero (1100) 2 puede representarse como: 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 (2) La representaci´ on posicional puede ser extendida para n´umeros fraccionarios, ocupando potencias nega- tivas de la base al ponderar. Por ejemplo el n´umero en representaci´ on decimal 112 , 234 puede representarse como: 1 × 10 2 +1 × 10 1 +2 × 10 0 +2 × 10 - 1 +3 × 10 - 2 +4 × 10 - 3 = 100+10+2+0 , 2+0 , 03+0 , 004 = 112 , 234 (3) De manera equivalente, podemos extender la representaci´ on posicional para n´umeros fraccionarios en representaci´ on binaria. Por ejemplo el n´umero (1100 , 011) 2 puede representarse como: 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 + 0 × 2 - 1 + 1 × 2 - 2 + 1 × 2 - 3 = 8 + 4 + 0 + 0 + 0 + 0 , 25 + 0 , 125 = 12 , 375 (4) Al igual que en los n´umeros enteros, la ecuaci´ on (4) puede ser interpretada como un algoritmo de conversi´ on binario-decimal. Nos gustar´ ıa encontrar tambi´ en un algoritmo de conversi´ on decimal-binario para n´umeros fraccionales, de manera de por ejemplo obtener la representaci´ on del n´umero 0 , 1 en binario. Un algoritmo simple es el siguiente: 1
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Reescrirbir el n´umero decimal en su forma fraccional: 0 , 1 = 1 10 Transformar el numerador y denominador a binario: 1 10 = (1) 2 (1010) 2 Realizar la divis´ on: 1 : 1010 =? Para poder completar este algoritmo, debemos primero revisar como se realiza la divisi´ on de n´umeros binarios. Divisi´on decimal y binaria Tal como en el caso de la multiplicaci´ on y la suma, la divisi´ on de n´umeros binarios ocupa exactamente el mismo procedimiento que su contraparte decimal. Revisaremos primero, entonces, un ejemplo de una divisi´ on decimal: 60 : 25: El primero paso corresponde a ver cuantas veces cabe completamente el divisor (n´umero de la derecha) en el dividendo (n´umero de la izquierda). En este caso cabe 2 veces, ya que 2 × 25 = 50, por lo cual lo escribimos como primer d´ ıgito del resultado el n´umero 2 y debajo del dividendo el valor efectivo de la
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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern