Spr07MidPartA-sol

Spr07MidPartA-sol - ‫פתרון מקוצר של בוחן...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פתרון מקוצר של בוחן אמצע סמסטר אביב –‬ ‫7002/6‬ ‫)יובל ישי, ליזה פיירמן, מירית שלם(‬ ‫שאלה 1‬ ‫‪L1 ∈ RE \ R‬‬ ‫‪ : L1 ∈ RE‬בעזרת הרצה מבוקרת, מסמלצים הרצה של ‪" M‬במקביל" על‬ ‫כל הקלטים מהצורה ‪ ,0n‬ואם מתגלה קלט כזה אותו ‪ M‬מקבלת – מקבלים‬ ‫)אחרת ממשיכים(.‬ ‫‪ : L1 ∉ R‬ע"י משפט רייס.‬ ‫‪ : L2 ∉ RE‬נראה 2‪ . HP ≤ L‬רדוקציה: ‪ ,<f(<M>,x)=<Mx‬כאשר ‪ Mx‬על קלט‬ ‫‪w‬‬ ‫מריצה את ‪ M‬על ‪ x‬למשך |‪ |w‬צעדים. אם ‪ M‬עצרה ‪ Mx‬מקבלת, אחרת‬ ‫דוחה.‬ ‫‪L3 ∈ R‬‬ ‫יש אינסוף מכונות ‪ M‬המקיימות ) ‪) HP ≤ L( M‬ובפרט כל מ"ט המקבלת את‬ ‫‪ .(HP‬נסמן את אוסף המכונות הללו ב-‪ .A‬לכן לכל אורך מילה ‪ ,n‬קיימת‬ ‫*‬ ‫מ"ט ‪ M‬ב-‪ A‬כך ש- ‪ , |< M >| > n‬ולכן ‪. L3 = Σ‬‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫3.‬ ‫שאלה 2‬ ‫הערה: שימו לב שה"כתיבה" ע"י כניסה ל- ‪ qacc, qrej‬אינה על הסרט! "כתיבה"‬ ‫מיוחדת זו היא לצורך הגדרת המחרוזת המיוצרת ע"י המכונה, ואינה קשורה לתוכן‬ ‫הסרט.‬ ‫מימוש אפשרי של ‪:M‬‬ ‫) ‪δ (q 0 , b) = (q rej , x, S‬‬ ‫1.‬ ‫) ‪δ (q acc , z ) = (q rej , x, S‬‬ ‫) ‪δ (q rej , x) = (q acc , y , S‬‬ ‫) ‪δ (q acc , y ) = (q acc , z, S‬‬ ‫ׁקיימים מימושים בעלי א"ב עבודה קטן יותר.‬ ‫נכון.‬ ‫תהיינה ‪ 'M,M‬המכונות המתאימות המייצרות את ‪ 'w,w‬בהתאמה. נתאר מ"ט‬ ‫‪ "M‬המייצרת את '‪: w ⊕ w‬‬ ‫1. מריצה את ‪ M‬עד שהיא מייצרת ביט.‬ ‫2. מריצה את ‪ 'M‬עד שהיא מייצרת ביט.‬ ‫מחשבת את ה-‪ xor‬ומייצרת את הביט שלה בהתאם.‬ ‫3.‬ ‫חוזרת ל-1 וממשיכה את ההרצות של ‪.'M,M‬‬ ‫4.‬ ‫2.‬ ‫שלבים 2,1 תמיד יעצרו כי המחרוזות ‪ 'w,w‬אינסופיות, ולכן ‪ "M‬תייצר את‬ ‫המחרוזת האינסופית המבוקשת.‬ ‫לא נכון.‬ ‫קבוצת המחרוזות האינסופיות אינה בת מניה, בעוד שקבוצת המ"ט היא בת‬ ‫מניה. לכן לא לכל מחרוזת אינסופית קיימת מ"ט המייצרת אותה.‬ ‫לא נכון )אינטואיטיבית, גם אם נריץ את ‪ M‬עד שהיא מייצרת את הביט‬ ‫הראשון, וגם אם הוא שווה 1, לא ניתן לדעת אם בהמשך היא תייצר עוד‬ ‫ביטים ולכן לא נוכל לקבל(.‬ ‫הוכחה ע"י ‪ . HP ≤ L‬הרדוקציה: ‪ ,<f(<M>,x)=<Mx‬כאשר ‪ Mx‬על קלט ‪w‬‬ ‫"כותבת" 1 )ע"י כניסה ל- )‪ ,qacc‬מריצה את ‪ M‬על ‪ ,x‬ו"כותבת" 0 אינסוף‬ ‫פעמים )נתקעת ב-‪.(qrej‬‬ ‫נכון.‬ ‫תהי ‪ M‬מ"ט )רגילה( המחשבת את ‪ .f‬נבנה מ"ט שעל כל קלט ‪ x‬תייצר‬ ‫את ‪ .(f(x‬נריץ את ‪ M‬על אותו קלט ‪ .x‬לאחר שעצרה )בהכרח תעצור כי ‪f‬‬ ‫מלאה(, נעבור על הפלט ביט אחר ביט ונייצר את אותם ביטים ע"י כניסות‬ ‫ל-‪) .qacc,qrej‬נסיים בלולאה אינסופית על מצב כלשהו שאינו ‪ qacc‬או ‪(.qrej‬‬ ‫שימו לב כי מימוש מדוייק של מ"ט כנ"ל דורש סימון של סוף הפלט של ‪M‬‬ ‫לפני מעבר שמאלה לתחילת הפלט.‬ ‫לא נכון.‬ ‫נבנה מ"ט ‪ 'M‬לייצור מחרוזות, שעל כל לט ‪ w‬מייצרת מחרוזת סופית (‪SM‬‬ ‫‪ ,(w‬ונוכיח שאם הפונקציה ‪ SM‬ניתנת לחישוב )ע"י מ"ט רגילה(, אז ניתן‬ ‫להכריע את ‪.HP‬‬ ‫‪ 'M‬על קלט ‪:(w, w = (<M>,x‬‬ ‫מריצה את ‪ M‬על ‪ ,x‬ואז )אם ‪ M‬עצרה( "כותבת" 1 )ואח"כ לולאה‬ ‫אינסופית על מצב כלשהו שאינו ‪ qacc‬או ‪.(qrej‬‬ ‫אבחנה:‬ ‫‪1 M stops on x‬‬ ‫‪S M ' (< M >, x) = ‬‬ ‫‪ε else‬‬ ‫הפונקציה לא ניתנת לחישוב )אחרת ניתן היה לחשב את ערך הפונקציה‬ ‫ע"י המ"ט המתאימה ולהכריע את ‪.(HP‬‬ ‫לא נכון.‬ ‫נתאר 2‪ M1,M‬כאלה, כך שאם קיימת ‪ M‬המייצרת על כל קלט ‪ x‬את‬ ‫)‪ , S M 1 ( x) S M 2 ( x‬אזי ניתן להכריע את ‪.HP‬‬ ‫1‪ M‬על קלט ‪:(w, w = (<M>,x‬‬ ‫מריצה את ‪ M‬על ‪ ,x‬ואז )אם ‪ M‬עצרה( "כותבת" 1.‬ ‫אבחנה:‬ ‫‪1 M stops on x‬‬ ‫‪S M 1 (< M >, x) = ‬‬ ‫‪ε else‬‬ ‫7.‬ ‫3.‬ ‫4.‬ ‫5.‬ ‫6.‬ ‫2‪ M‬על קלט ‪:(w, w = (<M>,x‬‬ ‫"כותבת" 0.‬ ‫אבחנה:‬ ‫‪10 M stops on x‬‬ ‫‪S M1 ( x) S M 2 ( x ) = ‬‬ ‫‪0 else‬‬ ‫נניח בשלילה שקיימת ‪ M‬כך שלכל קלט ‪ x‬מתקיים‬ ‫)‪ . S M ( x) = S M 1 ( x ) S M 2 ( x‬שימו לב ש-‪ M‬תמיד מייצרת לפחות ביט אחד,‬ ‫ועל פי הביט הראשון ש-‪ M‬מייצרת ניתן להכריע את ‪ .HP‬סתירה!‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online