win0708moedB-sol

win0708moedB-sol - ‫פתרו מועד ב' חור...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פתרו מועד ב' חור תשס"ח – טיוטה 1‬ ‫חור תשס"ח - מועד ב' - 80/5/4‬ ‫שאלה 1 )04 נקודות(‬ ‫)01( א. הוכח: אם ‪ L ∪ L ' ∈ RE‬וגם ‪ L‬סופית, אזי ‪. L ' ∈ RE‬‬ ‫עבור כל אחת מהשפות הבאות קבע והוכח האם היא ב-‪ R‬והאם היא ב-‪: RE‬‬ ‫)01( ב. } *‪L2 = {< M >| L( M ) ∩ Lε = LΣ‬‬ ‫)01( ג. }‪L3 = {< M >| L( M ) ∪ LΣ* ∉ RE‬‬ ‫)01( ד. }‪L4 = {< M >| L( M ) ∪ LΣ* ∈ RE‬‬ ‫שאלה 2 )02 נקודות( – שאלת מגן‬ ‫השפה: }‪ G‬גרף מכוון פשוט ובו לפחות שני מעגלים המילטוניים שונים | ‪ L = {G‬היא ‪-NP‬שלמה.‬ ‫שאלה 3 )02 נקודות(‬ ‫עבור כל אחד מהסעיפים הבאים קבעו והוכיחו בקצרה האם הוא:‬ ‫1( נכון. 2( לא נכון. 3( גורר ‪ (3 P = NP‬גורר ‪P ≠ NP‬‬ ‫יהי *‪ . R ⊆ Σ* × Σ‬נגדיר: | } 2‪ , # R ( x, y1 , y2 ) =| { y : ( x, y ) ∈ R ∧ y1 ≤ y ≤ y‬כלומר מספר ה-‪-y‬ים‬ ‫שנמצאים ביחס ‪ R‬עם ‪ x‬והם לקסיקוגרפית בין 1‪ y‬ל- 2‪. y‬‬ ‫)5( א. ‪ R‬ניתן לחיפוש יעיל ⇐ ‪ # R‬ניתן לחישוב יעיל.‬ ‫)5( ב. ‪ R‬חסום פולינומיאלית וגם ‪ # R‬ניתן לחישוב יעיל ⇐ ‪ R‬ניתן לחיפוש יעיל.‬ ‫)5( ג. יהי *‪ S ⊆ Σ* × Σ‬יחס חסום פולינומית וניתן לזיהוי יעיל.‬ ‫אזי קיימת מ"ט פולינומית המקבלת כקלט מחרוזת ‪ x‬ופולטת גרף ‪ G‬כך ש-‬ ‫• אם קיים ‪ y‬עבורו ‪ ( x, y ) ∈ S‬אזי הגרף ‪ G‬הוא 3-צביע,‬ ‫• אחרת – הגרף ‪ G‬אינו 3-צביע.‬ ‫)5( ד. קיימת שפה ‪-NP‬קשה שאינה ‪-NP‬שלמה.‬ ‫שאלה 4 )01 נקודות(‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה המקבלת גרף לא מכוון ‪ G‬ומחזירה כיסוי בצמתים מינימלי ב-‪.G‬‬ ‫הוכח או הפרך: ‪ f ⇐ P = NP‬ניתנת לחישוב בזמן פולינומי.‬ ‫שאלה 5 )01 נקודות(‬ ‫עבור ‪ , Li ∈ R‬נגדיר: } ‪. Ai = {< M >| L( M ) = Li‬‬ ‫)5( א. תהי ‪ L ∈ RE‬שפה כך שלכל ‪. L ∩ Ai ≠ φ : Li ∈ R‬‬ ‫הוכח שקיימת פונקציה ‪ f : N → L‬מלאה וניתנת לחישוב, > ‪ f ( j ) =< M j‬כך שעבור כל שפה‬ ‫‪ Li ∈ R‬קיים ‪ j‬כך ש- ‪. < M j >∈ L ∩ Ai‬‬ ‫)5( ב. הוכח שאם } ‪ M‬עוצרת לכל ‪ L ⊆ {< M >| x‬וגם ‪ , L ∈ RE‬אזי קיימת ‪ Li ∈ R‬כך ש-‬ ‫‪. L ∩ Ai = φ‬‬ ‫רמז: בנה ‪ Li‬כזו בלכסון.‬ ‫פתרו מועד ב' חור תשס"ח – טיוטה 1‬ ‫פתרון‬ ‫פתרו מועד ב' חור תשס"ח – טיוטה 1‬ ‫שאלה 3‬ ‫שימו לב שבשאלה זו נדרשתם להוכיח בקצרה!‬ ‫סעיף א'‬ ‫הטענה אינה נכונה. נראה יחס ‪ ,R‬עבורו ‪ #R‬אינו ניתן לחישוב, אך ‪ R‬ניתן לחיפוש יעיל.‬ ‫נתבונן ביחס } ‪. R = {(< M 1 >, < M 2 >) | (< M 1 >, < M 2 >) ∈ LEQ‬‬ ‫לכל ‪ x‬מתקיים )‪ , R(x,x‬ולכן קל למצוא עד לכל קלט )העד זהה לקלט(, אבל ניתן להכריע אם‬ ‫)‪ (x,y‬שייכת ל- ‪ LEQ‬ע"י חישוב )‪, #R(x,y,y‬וידוע ש- ‪ LEQ‬אינה ניתנת להכרעה.‬ ‫סעיף ב'‬ ‫הטענה נכונה. יהי )‪ p(n‬הפולינום כך ש- )| ‪) ( x, y ) ∈ R ⇒| y |≤ p (| x‬קיים כזה, כי ‪ R‬חסום פולינומית(.‬ ‫אזי בהינתן ‪ x‬נבצע חיפוש בינארי של ‪ y‬על מילים באורך עד )|‪ .p(|x‬בכל איטרציה נחצה את התחום ונמשיך‬ ‫עם תחום בו ‪ #R‬גדול מ- 0 )אם אין כזה סיימנו(.‬ ‫מספר המילים שאורכן עד )|‪ p(|x‬אקספוננציאלי באורכו של ‪ ,x‬ובכל איטרציה אנו מצמצמים את התחום‬ ‫פי 2. סה"כ מספר האיטרציות הוא )|‪ .O(log2 2p(|x)|)= O(p|x‬בכל איטרציה חישוב ‪ #R‬הוא פולי' ולכן‬ ‫האלגוריתם כולו פולינומי.‬ ‫סעיף ג'‬ ‫הטענה נכונה. על פי ההגדרה, } ‪ Ls = {x | ∃y : ( x, y ) ∈ S‬היא ב-‪ .NP‬מכיוון ש-‪ 3COL‬היא ‪-NP‬שלמה,‬ ‫קיימת רדוקציה פולי' ‪ . Ls ≤ p 3COL‬המכונה המחשבת את הרדוקציה מקיימת את הנדרש בטענה.‬ ‫סעיף ד'‬ ‫הטענה נכונה. השפה ‪ Lu‬אינה ‪-NP‬שלמה כי היא אינה ב-‪) NP‬אינה ב-‪ ,( R‬אולם היא ‪-NP‬קשה, כי קיימת‬ ‫רדוקציה פולי' מ-‪ SAT‬אליה: ) ‪ , f (ϕ ) = (< M SAT >, ϕ‬כאשר ‪ MSAT‬היא מ"ט המכריעה את ‪.SAT‬‬ ‫שאלה 4‬ ‫הערה: בשאלה זו יש להחזיר כיסוי בצמתים מינימלי ולא רק את גודל הכיסוי המינימלי!‬ ‫נתבונן ביחס הבא:‬ ‫} הצמתים ‪ v1, v2, … vk‬מהווים כיסוי בצמתים בגודל ‪ k‬ב- ‪S={(G, k),(v1, v2 …, vk)| G‬‬ ‫היחס חסום פולינומית משום ש- )|‪| v1, v2 …, vk| ≤klog(|V‬‬ ‫היחס ניתן לזיהוי פולינומי משום שניתן לבדוק במעבר אחד על קשתות ‪ G‬שקבוצת הצמתים מהווה כיסוי.‬ ‫מהנתון ‪ P=NP‬ולכן היחס ‪ S‬ניתן גם לחיפוש פולינומי. מכאן קיימת מ"ט ‪ M‬שעבור זוג )‪ (G,k‬מחזירה‬ ‫כיסוי בגודל ‪ k‬אם קיים כזה, או דוחה אם לא קיים כיסוי כזה.‬ ‫עתה נפעיל את ‪ M‬עבור ‪ G‬ו- 1-|‪ k=1,2,3, … |V‬בסדר עולה. נעצור בפעם הראשונה בה ‪ M‬החזירה כיסוי‬ ‫ונחזיר כיסוי זה.‬ ‫האלגוריתם שתארנו פולינומי משום שהוא מריץ לכל היותר 1-|‪ |V‬איטרציות של ‪ M‬שהיא מכונה העובדת‬ ‫בזמן פולינומי.‬ ‫נכונות: יהי ‪ m‬גודל הכיסוי המינימלי. גודל זה הוא בודאי לכל היותר 1-|‪ |V‬משום שכל גרף ניתן לכיסוי‬ ‫ע"י 1-|‪ |V‬צמתים. אזי המכונה ‪ M‬לא תחזיר כיסוי לכל ‪ .k<m‬מנכונות ‪ M‬היא תחזיר כיסוי עבור ‪ m‬ואותו‬ ‫נחזיר.‬ ‫שאלה 5 – סעיף א'‬ ‫‪ L∈RE‬ולכן קיימת ‪ ML‬המקבלת אותה.‬ ‫פתרו מועד ב' חור תשס"ח – טיוטה 1‬ ‫נתאר ‪ Mf‬המחשבת פונקציה עם התכונות המבוקשות.‬ ‫‪ Mf‬על קלט ‪:j‬‬ ‫מריצה בהרצה מבוקרת את ‪ ML‬על כל הקלטים ב- *‪) Σ‬כמו שראינו בהרצאה(. מחזירה את המילה ה- ‪j‬‬ ‫שהתקבלה בהרצה המבוקרת.‬ ‫נכונות:‬ ‫‪ f‬מלאה משום ש- ‪ L‬אינסופית )משום שלכל ‪ .(Ai ∩L ≠ ∅ ,Li∈R‬ולכן בהרצה המבוקרת תתקבלנה מספר‬ ‫לא חסום של מילים ומכאן ‪ Mf‬תחזיר ערך לכל ‪.j‬‬ ‫‪ f‬ניתנת לחישוב - תארנו ‪ Mf‬המחשבת אותה.‬ ‫כל מילה ששייכת ל- ‪ L‬מתקבלת אחרי זמן סופי ולכן תוחזר ע"י ‪ Mf‬מכיוון שהחיתוך בין ‪ L‬לבין כל ‪Ai‬‬ ‫אינו ריק, קיים ‪ j‬שבו תוחזר מילה ששייכת לחיתוך.‬ ‫שאלה 5 – סעיף ב'‬ ‫נוכיח שקיימת ‪ Li∈R‬כך ש- ∅ = ‪.Ai ∩L‬‬ ‫נתאר '‪ M‬שעל קלט ‪) wi‬המילה ה- ‪ i‬בסדר לקסיקוגרפי על המילים( עובדת באופן הבא:‬ ‫מריצה את ‪) Mf‬מהסעיף הקודם( על ‪ i‬ומקבלת >‪ . <M‬מריצה את ‪ M‬על ‪ wi‬ועונה הפוך ממנה.‬ ‫'‪ M‬עוצרת לכל קלט משום ש- ‪ f‬היא פונקציה מלאה )ולכן הרצת ‪ Mf‬מסתיימת תמיד(. מכיוון ש- ‪<M>∈L‬‬ ‫‪.L(M')=Lk∈R‬‬ ‫ו-‪ L‬מכילה רק קידודי מכונות שעוצרות לכל ‪ x‬אזי הרצת ‪ M‬מסתיימת גם היא תמיד‬ ‫אם החיתוך בין ‪ L‬לבין כל שפה ‪ Ai‬אינו ריק )הנחת השלילה( אזי מתכונת ‪ f‬מהסעיף הקודם קיים ‪ j‬עבורו‬ ‫מתקבל ‪ . <M>∈Ak‬מכאן שעבור ‪ M' wj‬תענה הפוך מ- ‪ Lk‬בסתירה לכך ש- ‪.L(M')=Lk‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 03/12/2011 for the course CS 236343 taught by Professor Bensasson during the Winter '11 term at Technion.

Ask a homework question - tutors are online