more about integrals

more about integrals - ‫לסטודנטים שלום,‬...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫לסטודנטים שלום,‬ ‫כפי שנאמר בכיתה, אין בהכרח קשר בין פונקציה שהיא אינטגרבילית, לבין פונקציה שיש לה פונקציה‬ ‫קדומה. אלו שני מושגים שונים. ייתכן שפונקציה תהיה אינטגרבילית, אך ללא פונקציה קדומה, וייתכן‬ ‫שלפונקציה תהיה פונקציה קדומה, אך היא לא אינטגרבילית.‬ ‫בדף זה תוכלו לראות דוגמא לכל אחד משני המצבים הללו. אני מאוד ממליץ לכם לנסות קודם לחשוב על‬ ‫דוגמאות לבד )או לפחות על רעיון כללי לאיך פונקציות כאלה צריכות להיראות(, ורק אחרי שניסיתם לענות‬ ‫בעצמכם, לקרוא את מה שכתוב למטה.‬ ‫0 ≤ ‪0 x‬‬ ‫‪) f ( x) = ‬תשרטטו איך היא נראית(. בוודאי שהיא אינטגרבילית בכל‬ ‫1( נסתכל על הפונקציה:‬ ‫0 > ‪1 x‬‬ ‫)או, אם אתם רוצים להצדיק זאת‬ ‫‪∫ f ( x)dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫קטע שנרצה, כי לכל קטע ]‪ [a,b‬ניתן לחשב את האינטגרל‬ ‫באופן פורמלי – זו פונקציה רציפה פרט למספר סופי של נקודות, וחסומה, ולכן לפי משפט – אינטגרבילית(.‬ ‫מצד שני, אין לה פונקציה קדומה. מדוע? ננסה להבין קודם מי ה"מועמדת" להיות הפונקציה הקדומה. אנחנו‬ ‫יודעים לענות על שאלה זו בקלות כאשר ‪ x‬גדול מאפס, או קטן מאפס, אך נשאלת השאלה מה קורה כאשר‬ ‫0=‪ .x‬ז"א, בשלב ראשוני נקבל שה"מועמדת" להיות הפונקציה הקדומה, חייבת להראות כך:‬ ‫0<‪x‬‬ ‫1‪ C‬‬ ‫‪‬‬ ‫? ‪ . F ( x) = ‬שימו לב שבשלב ראשוני זה, יש לנו קבוע ‪ C‬שונה לכל תחום.‬ ‫0=‪x‬‬ ‫0 > ‪x + C x‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫מכיוון שאנו רוצים ש-)‪ F(x‬תהיה פונקציה קדומה של )‪ ,f(x‬נובע ש- )‪ F(x‬צריכה להיות גזירה בכל נקודה‬ ‫ולקיים )‪ . F ′( x) = f ( x‬בכל נקודה פרט ל- 0=‪ x‬זה כבר מתקיים, ואנו למעשה נראה שלא ייתכן שזה יקרה‬ ‫גם עבור 0=‪) x‬ולכן המסקנה תהיה שאין פונקציה קדומה ל- )‪.(f(x‬‬ ‫נניח בשלילה שאכן מתקיים ש- )‪ F(x‬גזירה ב- 0=‪ .x‬אז לפי משפט, היא בפרט רציפה ב- 0=‪ .x‬כלומר:‬ ‫)0( ‪ . lim− F ( x) = lim+ F ( x) = F‬ז"א, מתוך זה נקבל ש: )0( ‪ . C1 = C2 = F‬ולכן, )‪ F(x‬חייבת להיראות‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0≤‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫באופן הבא:‬ ‫1 ‪ . F ( x) = ‬אולם, לכל מספר 1‪ C‬שנבחר, הפונקציה )‪ F(x‬לא תהיה גזירה באפס‬ ‫0 > ‪ x + C1 x‬‬ ‫)אתם יכולים להוכיח את זה לפי הגדרה. אם אתם רוצים לקבל אינטואיציה שמסבירה מדוע זה נכון, תציירו‬ ‫את הגרף עבור, למשל, 0 = 1‪ , C‬ותראו שיש "שפיץ" ב- 0=‪ .x‬אולם, באופן אינטואיטיבי, כאשר פונקציה‬ ‫גזירה בנקודה, היא "חלקה" שם, ללא "שפיצים"(.‬ ‫כלומר, )‪ F(x‬לא גזירה ב- 0=‪ ,x‬בסתירה לכך שהנחנו שהיא כן.‬ ‫לכן, אין ל- )‪ f(x‬פונקציה קדומה.‬ ‫לסיכום: הראינו פונקציה שהיא אינטגרבילית, אך אין לה פונקציה קדומה.‬ ‫2( כעת נרצה לחפש פונקציה )‪ f(x‬שיש לה פונקציה קדומה, אך היא ל אינטגרבילית.‬ ‫אני רוצה להזכיר לכם, שבהגדרה של פונקציות אינטגרביליות, מדובר מלכתחילה רק על פונקציות חסומות‬ ‫)ובקטע חסום(. לכן, הרעיון הוא לחפש פונקציה )‪ F(x‬שהנגזרת שלה לא חסומה.‬ ‫4‬ ‫0 ≠ ‪ x 3 ⋅ sin( 1 ) x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ . F ( x) = ‬נראה ש- )‪ F(x‬גזירה לכל ‪ ,x‬ולנגזרת נקרא )‪.f(x‬‬ ‫נגדיר:‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0=‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫− ) 1 (‪. F ′( x) = 4 x 3 sin( 1 ) + x 3 cos( 1 ) ⋅ (− x12 ) = 4 x 3 sin‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫עבור 0 ≠ ‪ x‬מתקיים: ) 1 (‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫) 1 (‪x 3 sin‬‬ ‫)0 ( ‪F ( x ) − F‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. F ′(0) = lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫עבור 0 = ‪ x‬מתקיים: 0 = ) 1 (‪= lim x 3 sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0−‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫0 ≠ ‪ 4 x 3 sin( 1 ) − 1 cos( 1 ) x‬‬ ‫3‪‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לכן, נגדיר:‬ ‫‪. f ( x) = ‬‬ ‫3‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫0=‪x‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫מהאופן בו בנינו את )‪ ,f(x‬ברור שיש לה פונקציה קדומה – )‪) F(x‬כי אם נגזור את )‪ F(x‬נקבל את )‪.( f(x‬‬ ‫אולם, )‪ f(x‬איננה חסומה בקטע ]1,1-[ למשל )תשתכנעו בבקשה באופן עצמאי מדוע היא איננה חסומה(,‬ ‫ולכן לא אינטגרבילית בקטע זה.‬ ‫לסיכום, הראינו פונקציה שיש לה פונקציה קדומה, אך היא לא אינטגרבילית.‬ ‫4‬ ‫המשך שבוע נעים,‬ ‫עופר.‬ ‫נ.ב. תודה רבה לד"ר נעמי שקד-מונדרר על העזרה במציאת דוגמא מתאימה לסעיף 2.‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern