more about integrals

more about integrals - ‫לסטודנטים שלום,‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫לסטודנטים שלום,‬ ‫כפי שנאמר בכיתה, אין בהכרח קשר בין פונקציה שהיא אינטגרבילית, לבין פונקציה שיש לה פונקציה‬ ‫קדומה. אלו שני מושגים שונים. ייתכן שפונקציה תהיה אינטגרבילית, אך ללא פונקציה קדומה, וייתכן‬ ‫שלפונקציה תהיה פונקציה קדומה, אך היא לא אינטגרבילית.‬ ‫בדף זה תוכלו לראות דוגמא לכל אחד משני המצבים הללו. אני מאוד ממליץ לכם לנסות קודם לחשוב על‬ ‫דוגמאות לבד )או לפחות על רעיון כללי לאיך פונקציות כאלה צריכות להיראות(, ורק אחרי שניסיתם לענות‬ ‫בעצמכם, לקרוא את מה שכתוב למטה.‬ ‫0 ≤ ‪0 x‬‬ ‫‪) f ( x) = ‬תשרטטו איך היא נראית(. בוודאי שהיא אינטגרבילית בכל‬ ‫1( נסתכל על הפונקציה:‬ ‫0 > ‪1 x‬‬ ‫)או, אם אתם רוצים להצדיק זאת‬ ‫‪∫ f ( x)dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫קטע שנרצה, כי לכל קטע ]‪ [a,b‬ניתן לחשב את האינטגרל‬ ‫באופן פורמלי – זו פונקציה רציפה פרט למספר סופי של נקודות, וחסומה, ולכן לפי משפט – אינטגרבילית(.‬ ‫מצד שני, אין לה פונקציה קדומה. מדוע? ננסה להבין קודם מי ה"מועמדת" להיות הפונקציה הקדומה. אנחנו‬ ‫יודעים לענות על שאלה זו בקלות כאשר ‪ x‬גדול מאפס, או קטן מאפס, אך נשאלת השאלה מה קורה כאשר‬ ‫0=‪ .x‬ז"א, בשלב ראשוני נקבל שה"מועמדת" להיות הפונקציה הקדומה, חייבת להראות כך:‬ ‫0<‪x‬‬ ‫1‪ C‬‬ ‫‪‬‬ ‫? ‪ . F ( x) = ‬שימו לב שבשלב ראשוני זה, יש לנו קבוע ‪ C‬שונה לכל תחום.‬ ‫0=‪x‬‬ ‫0 > ‪x + C x‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫מכיוון שאנו רוצים ש-)‪ F(x‬תהיה פונקציה קדומה של )‪ ,f(x‬נובע ש- )‪ F(x‬צריכה להיות גזירה בכל נקודה‬ ‫ולקיים )‪ . F ′( x) = f ( x‬בכל נקודה פרט ל- 0=‪ x‬זה כבר מתקיים, ואנו למעשה נראה שלא ייתכן שזה יקרה‬ ‫גם עבור 0=‪) x‬ולכן המסקנה תהיה שאין פונקציה קדומה ל- )‪.(f(x‬‬ ‫נניח בשלילה שאכן מתקיים ש- )‪ F(x‬גזירה ב- 0=‪ .x‬אז לפי משפט, היא בפרט רציפה ב- 0=‪ .x‬כלומר:‬ ‫)0( ‪ . lim− F ( x) = lim+ F ( x) = F‬ז"א, מתוך זה נקבל ש: )0( ‪ . C1 = C2 = F‬ולכן, )‪ F(x‬חייבת להיראות‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0≤‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫באופן הבא:‬ ‫1 ‪ . F ( x) = ‬אולם, לכל מספר 1‪ C‬שנבחר, הפונקציה )‪ F(x‬לא תהיה גזירה באפס‬ ‫0 > ‪ x + C1 x‬‬ ‫)אתם יכולים להוכיח את זה לפי הגדרה. אם אתם רוצים לקבל אינטואיציה שמסבירה מדוע זה נכון, תציירו‬ ‫את הגרף עבור, למשל, 0 = 1‪ , C‬ותראו שיש "שפיץ" ב- 0=‪ .x‬אולם, באופן אינטואיטיבי, כאשר פונקציה‬ ‫גזירה בנקודה, היא "חלקה" שם, ללא "שפיצים"(.‬ ‫כלומר, )‪ F(x‬לא גזירה ב- 0=‪ ,x‬בסתירה לכך שהנחנו שהיא כן.‬ ‫לכן, אין ל- )‪ f(x‬פונקציה קדומה.‬ ‫לסיכום: הראינו פונקציה שהיא אינטגרבילית, אך אין לה פונקציה קדומה.‬ ‫2( כעת נרצה לחפש פונקציה )‪ f(x‬שיש לה פונקציה קדומה, אך היא ל אינטגרבילית.‬ ‫אני רוצה להזכיר לכם, שבהגדרה של פונקציות אינטגרביליות, מדובר מלכתחילה רק על פונקציות חסומות‬ ‫)ובקטע חסום(. לכן, הרעיון הוא לחפש פונקציה )‪ F(x‬שהנגזרת שלה לא חסומה.‬ ‫4‬ ‫0 ≠ ‪ x 3 ⋅ sin( 1 ) x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ . F ( x) = ‬נראה ש- )‪ F(x‬גזירה לכל ‪ ,x‬ולנגזרת נקרא )‪.f(x‬‬ ‫נגדיר:‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0=‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫− ) 1 (‪. F ′( x) = 4 x 3 sin( 1 ) + x 3 cos( 1 ) ⋅ (− x12 ) = 4 x 3 sin‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫עבור 0 ≠ ‪ x‬מתקיים: ) 1 (‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫) 1 (‪x 3 sin‬‬ ‫)0 ( ‪F ( x ) − F‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. F ′(0) = lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫עבור 0 = ‪ x‬מתקיים: 0 = ) 1 (‪= lim x 3 sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0→ ‪x‬‬ ‫0−‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫0 ≠ ‪ 4 x 3 sin( 1 ) − 1 cos( 1 ) x‬‬ ‫3‪‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לכן, נגדיר:‬ ‫‪. f ( x) = ‬‬ ‫3‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫0=‪x‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫מהאופן בו בנינו את )‪ ,f(x‬ברור שיש לה פונקציה קדומה – )‪) F(x‬כי אם נגזור את )‪ F(x‬נקבל את )‪.( f(x‬‬ ‫אולם, )‪ f(x‬איננה חסומה בקטע ]1,1-[ למשל )תשתכנעו בבקשה באופן עצמאי מדוע היא איננה חסומה(,‬ ‫ולכן לא אינטגרבילית בקטע זה.‬ ‫לסיכום, הראינו פונקציה שיש לה פונקציה קדומה, אך היא לא אינטגרבילית.‬ ‫4‬ ‫המשך שבוע נעים,‬ ‫עופר.‬ ‫נ.ב. תודה רבה לד"ר נעמי שקד-מונדרר על העזרה במציאת דוגמא מתאימה לסעיף 2.‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online