enteros - Fundamentos de la Matem´atica Apuntes de clase...

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Unformatted text preview: Fundamentos de la Matem´atica Apuntes de clase Preparado por JC Trujillo O. Septiembre 2010 - Enero 2011 Cap´ ıtulo 4 Relaciones de equivalencia 1 Relaci´on en una clase. Sea A una clase. La clase G es una relaci´on en A si y solo si G ⊆ A × A . 2 Algunos tipos de relaciones. DEFINICI ´ON 4.1. Sean A una clase y G una relaci´on en A. 1. G es reflexiva si y solo si para todo x ∈ A, se tiene ( x , x ) ∈ G . 2. G es sim´etrica si y solo si de ( x , y ) ∈ G se deduce ( y , x ) ∈ G. 3. G es transitiva si y solo si de ( x , y ) ∈ G y ( y , z ) ∈ G, se deduce ( x , z ) ∈ G. 4. G es anti-sim´etrica si y solo si de ( x , y ) ∈ G y ( y , x ) ∈ G se deduce x = y. 3 Relaci´on de equivalencia. Una relaci´on G en una clase A es de equivalencia si y solo si es reflexiva, sim´etrica y transitiva. 3.1 Ejemplo. Vamos a admitir conocido el conjunto de los n´umeros enteros Z y el si- guiente resultado: TEOREMA 4.1 (Teorema de la divisi´on). Si a ∈ Z y b ∈ Z con b > , existen q ∈ Z y r ∈ Z , ´unicos, tales que a = qb + f con ≤ r < b. Tambi´en recu´erdese que si x ∈ Z y y ∈ Z , se dice que x divide a y , y se escribe x | y , si y solo si existe k ∈ Z tal que y = kx . Definamos el conjunto G de la siguiente manera: G = { ( x , y ) ∈ Z × Z ) : 5 | ( y − x ) } Por ejemplo, ( 2, 7 ) ∈ G , pues 5 | ( 7 − 2 ) , ya que 7 − 2 = 5; en cambio, ( 3, 5 ) negationslash∈ G . Probemos que G es una relaci´on de equivalencia en Z . Para ello, debemos mostrar que G es reflexiva, sim´etrica y transitiva. 38 Demostraci´on. 1. G es reflexiva . Sea x ∈ Z ; hay que demostrar que ( x , x ) ∈ G ; es decir, hay que demostrar que 5 | ( x − x ) . Ahora bien, puesto que 0 = 5 × 0, tenemos que 5 | 0; es decir, 5 | ( x − x ) . 2. G es sim´etrica . Supongamos que ( x , y ) ∈ G ; probemos que ( y , x ) ∈ G ; es decir, demostremos que 5 | ( x − y ) . De la hip´otesis, tenemos que 5 | ( y − x ) ; es decir, existe k ∈ Z tal que y − x = 5 k ; por lo tanto, x − y = 5 ( − k ) = 5 m , donde m = − k ∈ Z ; es decir, 5 | ( x − y ) , que es lo que se quer´ ıa demostrar. 3. G es transitiva . Supongamos que ( x , y ) ∈ G y ( y , z ) ∈ G ; probemos que ( x , z ) ∈ G ; es decir, demostremos que 5 | ( z − x ) . De las hip´otesis, 5 divide a y − x y a z − y ; es decir, existen k 1 ∈ Z y k 2 ∈ Z tales que y − x = 5 k 1 y z − y = 5 k 2 . De estas dos igualdades obtenemos que ( y − x ) + ( z − y ) = z − x = 5 k 1 + 5 k 2 = 5 ( k 1 + k 2 ) = 5 k con k = k 1 + k 2 ∈ Z ; es decir, 5 divide a z − x , que es lo que se quer´ ıa demostrar. 3.2 Ejemplo. Sean ( E , + , · , R ) un espacio vectorial real, F un subespacio vectorial de E y G = { ( x , y ) ∈ E × E : y − x ∈ F } ....
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  • Spring '11
  • ING.MARCELOSALGADO
  • Espacio vectorial, Multiplicación, Conmutatividad, Relación de equivalencia, Operación matemática, Axioma de extensionalidad

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