Analasis 2 - Ejercicios 26 de marzo de 2011 1. Operadores...

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Unformatted text preview: Ejercicios 26 de marzo de 2011 1. Operadores Lineales 1. Dado T : D ( T ) Y un operador lineal que posee inversa. Si { x 1 , ,x n } es un con- junto linealmente independiente en D ( T ), probar que el conjunto { T ( x 1 ) , ,T ( x n ) } es linealmente independiente. Sea { x 1 , ,x n } un conjunto linealmente independiente en D ( T ). P.D { T ( x 1 ) , ,T ( x n ) } es linealmente independente en Y. Sean 1 ,..., n tal que: 1 T ( x 1 ) + 2 T ( x 2 ) + + n T ( x n ) = 0 (1) Por demostrar que i = 0 para todo i { 1 ,...,n } De (1) obtenemos: T ( 1 x 1 ) + T ( 2 x 2 ) + + T ( n x n ) = 0 T ( 1 x 1 + 2 x 2 + + n x n ) = 0 Como para T existe T- 1 , sabemos que: N ( T ) = 0 por lo que 1 x 1 + 2 x 2 + + n x n = 0 Luego como { x i } i { 1 ,...,n } es linealmente independiente tenemos que: i = 0 para todo i { 1 ,...,n } Entonces { T ( x 1 ) , ,T ( x n ) } es linealmente independente en Y. 2. Dado T : X Y un operador lineal y dim X = dim Y = n < . Probar que R ( T ) = Y si y solo si T- 1 existe. a ) Supongamos que R ( T ) = Y . Por demostrar que T- 1 existe. Por demostrar: Si R ( T ) = 0 Como dim X = n , y: 1 dim( D ( T )) = dim( N ( T )) + dim( R ( T )) De lo que: dim( N ( T )) = 0 Entonces T- 1 existe. b ) Supongamos que existe T- 1 . Por demostrar que R ( T ) = Y . Como dim X = n y T- 1 existe, entonces dim X = dim R ( T ) = n Y dim R ( T ) dim Y = n Entonces R ( T ) = Y . 3. Consideremos el espacio vectorial de tadas las funcuones reales definidas en R y con derivadas de cualquier orden en R . Definimos T : X X con y ( t ) = Tx ( t ) = x ( t ). probar que R ( T ) es todo X pero T- 1 no existe. Comparar eon el ejercicio anterior Por demostrar R ( T ) 6 = { } Por demostrar que existe x X y x 6 = 0 tal que Tx = 0 Para todo t R Tx ( t ) = 0 Tx ( t ) = x ( t ) = 0 Pero si la derivada de una funci on es 0, para todo t R , entonces x ( t ) = c donde c es una constante. Pues si x ( t ) = 1, x = 0 y x 6 = 0, y x N ( T ),por lo que R ( T ) 6 = { } Entonces T- 1 no existe....
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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