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Analisis 1 - Teorema 5 Sea bn una serie absolutamente...

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Teorema 5 Sea b n una serie absolutamente convergente tal que b n 6 = 0 para todo n N . Si la sucesi´on ( a n /b n ) est´a acotada (en particular, converge) entonces la serie a n es absolu- tamente convergente La idea de la demostraci´ on es, probar la existencia de un c > 0 y buscar una serie b n absolu- tamente convergente, de manera que usando el criterio de comparaci´ on podamos concluir que a serie a n es absolutamente convergente Demostraci´on. Por hip´ otesis sabemos que b n es absolutamente convergente, y b n 6 = 0, es decir | b n | converge para todo n N . El criterio de comparaci´ on dice que, dadas dos series a n y b n de t´ erminos mayores o iguales a cero; si existen c > 0 y n 0 N tales que a n cb n para todo n > n 0 , entoces la convegencia de b n implica le de a n . Entonces, por hip´ otesis tenemos que ( a n /b n ) est´ a acotada, es decir que existe un c > 0 tal que | a n /b n | ≤ c para todo n N . De esto resulta que | a n | ≤ c | b n | . Puesto que | b n |
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