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Analisis 2_1 - 1 Si a n ≥ 0 para todo n ∈ N demostrar...

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Unformatted text preview: 1. Si a n ≥ 0 para todo n ∈ N , demostrar que tiene ∑ a n convergente si y solo si existe una constante M < 0 tal que n X j =1 a j < M para todo n ∈ N . a ) a n ≥ 0 para todo n ∈ N Tenemos que demostrar que: i)Si ∑ a n converge, existe M > 0 tal que n X j =1 a j < M para todo n ∈ N ii). Si existe M > 0 tal que ∑ n j =1 a j < M para todo n ∈ N tenemos que demostrar que ∑ a n b ) Sea a n = ∑ n j =1 a j para todo n ∈ N , existe a > 0 tal que: l´ ım a n = a c ) Como existe l´ ım a n tenemos que a n es mon´ otona y acotada. d ) Como a n est´ a acotada, entonces existe M > 0 tal que | a n | < M para todo n ∈ N . Y siendo a n > 0 para todo n ∈ N tenemos que: a n < M de donde n X j =1 a j < M para todo n ∈ N e ) Por otro lado si existe M > 0 tal que n X j =1 a j < M para todo n ∈ N f ) Sea a n = ∑ n j =1 a j por lo que: a n < M para todo n ∈ N . Entonces ( a n ) est´ a acotada. g ) Como a n ≥ 0 para todo n ∈ N tenemos que: n X j =1- 1 a j < n X j =1 a j para todo n ∈ N Por lo que ( a n ) es mon´ otona creciente. 1 h ) Por el teorema ”toda sucesi´on acotada y mon´ otona es convergente”, tenemos que: Existe un a > 0 tal que a = l´ ım a n Por lo que ∑ a n converge. 2. Si a n ≤ 0 para todo n ∈ N y ( a n k ) es una subsucesi´ on de ( a n ), probar que la convergencia de ∑ a n implica la convergencia de ∑ a n k . a ) Si ( a n k ) subsucesi´ on de ( a n ) b ) ∑ a n converge Tenemos que demostrar que: ∑ a n k converge c ) a n ≥ 0 para todo n ∈ N toda subsucesi´ on de (...
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