Analisis 2_1 - 1. Si a n 0 para todo n N , demostrar que...

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Unformatted text preview: 1. Si a n 0 para todo n N , demostrar que tiene a n convergente si y solo si existe una constante M < 0 tal que n X j =1 a j < M para todo n N . a ) a n 0 para todo n N Tenemos que demostrar que: i)Si a n converge, existe M > 0 tal que n X j =1 a j < M para todo n N ii). Si existe M > 0 tal que n j =1 a j < M para todo n N tenemos que demostrar que a n b ) Sea a n = n j =1 a j para todo n N , existe a > 0 tal que: l m a n = a c ) Como existe l m a n tenemos que a n es mon otona y acotada. d ) Como a n est a acotada, entonces existe M > 0 tal que | a n | < M para todo n N . Y siendo a n > 0 para todo n N tenemos que: a n < M de donde n X j =1 a j < M para todo n N e ) Por otro lado si existe M > 0 tal que n X j =1 a j < M para todo n N f ) Sea a n = n j =1 a j por lo que: a n < M para todo n N . Entonces ( a n ) est a acotada. g ) Como a n 0 para todo n N tenemos que: n X j =1- 1 a j < n X j =1 a j para todo n N Por lo que ( a n ) es mon otona creciente. 1 h ) Por el teorema toda sucesion acotada y mon otona es convergente, tenemos que: Existe un a > 0 tal que a = l m a n Por lo que a n converge. 2. Si a n 0 para todo n N y ( a n k ) es una subsucesi on de ( a n ), probar que la convergencia de a n implica la convergencia de a n k . a ) Si ( a n k ) subsucesi on de ( a n ) b ) a n converge Tenemos que demostrar que: a n k converge c ) a n 0 para todo n N toda subsucesi on de (...
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