Analisis 2_3 - 1. L mtes y Desigualdades Sea P una...

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Unformatted text preview: 1. L mtes y Desigualdades Sea P una propiedad referente a los t erminos de una sucesi on ( x n ). Diremos que para todo n suficientemente grande x n cumple la propiedad P para significar que . ex iste n N tal que n n x n cumple la propiedad P . Teorema 1. Sea a = l m x n . Si b < a entonces, para todo n suficientemente grande, se tiene b < x n . Analogamente, si a < b entonces x n < b para todo n suficientemente grande. Demostracion. : Tomando = a- b , tenemos > 0 y b = a- . Por la definici on de l mite, existe n N tal que n > n a- < x n < a + b < x n . La otra afirmaci on se prueba de forma an aloga. DESCRIPCI ON DE LA DEMOSTRACI ON 1. Si b < a para n suficientemente grande b < x n y viceversa Tenemos = a- b , > 2. Existe n N tal que: n > n | x n- a | < - < x n- a < a- < x n < + a a- a + b < x n < a- b + a b < x n < 2 a- b Tenemos b < x n 3. Si b > a tenemos que demostrar b > x n = b- a > n N n > n a- < x n < a + a- b + a < x n < a + b- a 2 a- b < x n < b Tenemos b > x n Corolario 1. . Sea a = l m x n . Si a > entonces, para tono n suficientemente grande, se tiene x n > . Analogamente, si a < entonces x n < para todo n suficientemente grande. DESCRIPCI ON DEL COROLARIO 1. Sea a = l m x n Si a > 0 tomaremos > 0; =- a n N n > n | x n- a | < a- < x n < a + a- (- a ) < x n < a- a 2 a < x n < x n < 1 Corolario 2. . Sean a = l m x n y b = l m y n para todo n suficientemente grande entonces a b . En particular, si x n b para todo n suficientemente grande entonces l m x n b . En efecto, si tuvi esemos b < a entonces tomar amos c R tal que b < c < a y tendr amos, por el Teorema 1, y n < c < x n para todo n suficientemente grande, contradiciendo la hipotesis. DESCRIPCI ON DEL COROLARIO Sean a = l m x n y b = l m y n . Si x n y n 1. > 0; n > n | x n- a | < = a- c a- < x n < a + a- a + c < x n < 2 a- c 2. 1 > 0 entonces n ; n > n | y n- b | < 1 b- 1 < y n < b + 1 1 = c- b 3. Si x n t n , existe un b- c + b < y n < b + c- b 2 b- c < y n < c c < x n y n < c c < x n 2 a- c 2 b- c y n < c 2 a- c 2 b- c a b Observacion 1. : Si tuvi esemos x n < y n no podr amos concluir que a < b . Basta considerar x n = 0 e y n = 1 n ....
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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