Analisis 2_5 - Acotaci´on Sea ( x n ) una sucesi´ on se...

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Unformatted text preview: Acotaci´on Sea ( x n ) una sucesi´ on se dice acotada por un c ∈ R si: | x n | < c para n suficientemente grande Convergencia Sea ( x n ) una sucesi´ on se dice convergente si existe a ∈ R tal que l´ ım x n = a , es decir que dado un ε > 0 y n ∈ N tenemos que: | x n- a | < ε para n suficientemente grande Teorema 1. Unicidad del Limite Una sucesi´on no puede converger a dos l´ ımites distintos. Demostraci´on. Sea x n una sucesi´ on, y l´ ım x n = a , tomamos un b ∈ R tal que b 6 = a , tenemos que demostrar que l´ ım x n 6 = b (dado ε > 0 para n ∈ N tal que x n / ∈ ( b- ε,b + ε )) para n suficientemente grande. 1. x n una sucesi´ on, y l´ ım x n = a Dado un ε > 0 y n ∈ N tenemos que: | x n- a | < ε para n suficientemente grande 2. Sea 0 < ε < | b- a | 2 Temenos que | b- a | 6 = 0 por que a 6 = b ,y tenemos que existe ε > 0. 3. Sean I = ( a- ε,a + ε ) y J = ( b- ε,b + ε ) I y J son disyuntos por que 0 < ε < | b- a | 2 Tenemos que x n ∈ I , para todo n suficientemente grande por l´ ım x n = a Dado un ε > 0 y n ∈ N tal que a- ε < x n < a + ε ) para n suficientemente grande. 4. x n / ∈ J por x n ∈ I e I y J son disjuntos. En general existe ε > 0 y m ∈ N tal que x m / ∈ ( b- ε,b + ε ) para todo m suficientemente grande. Lo que queremos demostrar es:(existe ε > 0 para todo n ∈ N tal que x n / ∈ ( b- ε,b + ε ) para n suficientemente grande. 5. Por tricotom´ ıa tenemos que m y n se pueden relacionar de la siguiente manera: m ≥ n ´ o m < n Cuando: m ≥ n Si n = m , tenemos que m , por y por el paso (4) tenemos que x n / ∈ J . Cuando: m < n Si tenemos que m ≥ n , y por el paso (4) tenemos que x n / ∈ J Entonces podemos concluir que el l´ ımite es ´unico Teorema 2. Si l´ ım x n = a entonces toda subsucesi´on de ( x n ) Demostraci´on. Sea ( x n 1 ,x n 2 ,...,x n k ,... ) una subsucesi´ on. dada cualquier intervalo abierto cen- trado en a existe n ∈ N tal que las t´ erminos x n , con n ≥ n , pertenecen a I . en particular, todos los t´ erminos x n k con n k ≥ n , tambi´ en pertenece a I . luego l´ ım x n k = a Descripci´on: 1. l´ ım x n = a Dado un ε > 0 y n ∈ N tal que | x n- a | < ε , para todo n suficientemente grande. 1 2. Debemos hallar para ( x n k ) subsucesi´ on de ( x n ), l´ ım x n k =a, dado un ε > 0 y n ∈ N tal que | x n k- a | < ε , para todo n suficientemente 3. Sea I = ( a- ε ; a + ε ) x n ∈ I para n suficientemente grande Tenemos n k ≥ n entonces: x n k ∈ I para n k suficientemente grande entonces l´ ım x n k = a Teorema 3. Toda sucesi´on convergente est´a acotada. Demostraci´on. Sea l´ ım x n = a . Tomaremaos ε = 1 vemos que existe n ∈ N con n suficientemente grande tal que x n ∈ ( a- 1 ,a + 1). sean b y c el menor y el mayor elemento del conjunto finito { x 1 ,x 2 ,...x n ,a- 1 ,a + 1 } . todos los elementos x n de la sucesi´ on est´ an contenidos en[ c,b ], luego la sucesi´ on est´ a acotada. Descripci´on...
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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