Analisis 2_6 - La siguiente demostraci´n trata de ilustrar...

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Unformatted text preview: La siguiente demostraci´n trata de ilustrar la unicidad del l´ o ımite de una sucesi´n,por el o teorema: Una sucesi´n no puede converger a dos l´ o ımites distintos. 1. Demostraci´n o Sea xn una sucesi´n, y l´ xn = a,tomamos un b ∈ R tal que b = a, tenemos que demostrar o ım que l´ xn = b ( existe ε > 0 para todo n ∈ N tal que existe n0 ≥ n donde xn ∈ (b − ε, b + ε)). ım / 1. Sea 0 < ε < |b−a| 2 ,temenos que |b − a| = 0 por que a = b,y tenemos que existe ε > 0. |b−a| 2 2. Sean I = (a − ε, a + ε) y J = (b − ε, b + ε), I y J son disyuntos por que 0 < ε < 3. Tambi´n tenemos que existe un n0 ∈ N tal que xn ∈ I , para todo n ≥ n0 por l´ xn = a , e ım (∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que n ≥ n0 , a − ε < xn < a + ε) 4. xn ∈ J por xn ∈ I e I y J son disjuntos. / 5. En general existe ε > 0 y existe m0 ∈ N tal que xm ∈ (b − ε, b + ε) para todo m ≥ m0 / Lo que queremos demostrar es:(existe ε > 0 para todo n ∈ N tal que existe n0 ≥ n donde xn0 ∈ (b − ε, b + ε). / 6. Por tricotom´ tenemos que m0 y n se pueden relacionar de la siguiente manera:m0 ≥ n ıa o ´ m0 < n Cuando: m0 ≥ n Sea n0 = m0 , tenemos que n0 ≥ n Si n0 = m , tenemos que m ≥ m0 , por m = n0 = m0 y por el paso (5) tenemos que xn0 ∈ J . / Cuando: m0 < n Sea n0 = n y n = m0 , tenemos que n0 ≥ n Si n0 = m , tenemos que m ≥ m0 , y por el paso (5) tenemos que xn0 ∈ J / Entonces podemos concluir que el l´ ımite es unico ´ 1 ...
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