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Analisis 2_8 - Teorema 1 Todo conjunto infinitos y acotado...

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Unformatted text preview: Teorema 1. Todo conjunto infinitos y acotado de n´umeros reales tiene, al menos, un punto de acumulaci´on. Demostraci´on. Sea X infinito y acotado, X posee un subconjunto infinito numerable { x 1 ,x 2 ,...,x n ,.. } . Fijando esta numeraci´ on tenemos una sucesi´ on ( x n ) de t´ erminos, distintos dos a dos, pertenecientes a X , por tanto una sucesi´ on acotada que, por el Teorema de Bolzano- Weiestrass posee una sub- sucesi´ on convergente. Eliminando los t´ erminos que no est´ an en esta subsucesi´ on y cambiando la notaci´ on podemos admitir que ( x n ) converge. Sea a = l´ ım x n . Como los t´ erminos x n son distintos, como m´ aximo uno de ellos puede ser igual a a . Descart´ andolo, caso de que este exista, tendremos que a es el l´ ımite de una sucesi´ on de puntos x n ∈ X- { a } , luego a ∈ X 1. Descripci´on de la demostraci´ on 1. ”Sea X infinito y acotado: X posee un subconjunto infinito numerable { x 1 ,x 2 ,...,x n ... } ” Si X es infinito contiene un subconjunto numerable por que todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable: x 1 ,x 2 ,...,x n ,... 2. ”Fijando esta numeraci´ on tenemos una sucesi´ on x n de t´ erminos, distintos dos a dos pertenecientes a X ”. Sea Q = { x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n ... } Si Q = { x 1 ,x 2 ,...x n } es numerable. Entonces existe f : N → Q , f biyectiva. es inyectiva, por lo que: x 1 6 = x 2 6 = x 3 6 = ...x n Para todo n ∈ N Y pertenecen a X para que Q ⊂ X entonces ( ∀ x i )(( x i ∈ Q ) ∧ x i ∈ X ). 3. ”Por tanto una sucesi´ on acotada que porTeorema Bolzano Weistrass, posee una sucesi´ on convergente” Q est´ a acotada por que X est´ a acotada. Como X esta acotada. Para todo x ∈ X , existe c tal que: | x | ≤ c Y para todo x n ∈ Q , x n ∈ X para todo n ∈ N Entonces: | x n | ≤ c para todo n ∈ N Porque x n ∈ X ....
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