Analisis 2_8 - Teorema 1. Todo conjunto infinitos y acotado...

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Unformatted text preview: Teorema 1. Todo conjunto infinitos y acotado de numeros reales tiene, al menos, un punto de acumulacion. Demostracion. Sea X infinito y acotado, X posee un subconjunto infinito numerable { x 1 ,x 2 ,...,x n ,.. } . Fijando esta numeraci on tenemos una sucesi on ( x n ) de t erminos, distintos dos a dos, pertenecientes a X , por tanto una sucesi on acotada que, por el Teorema de Bolzano- Weiestrass posee una sub- sucesi on convergente. Eliminando los t erminos que no est an en esta subsucesi on y cambiando la notaci on podemos admitir que ( x n ) converge. Sea a = l m x n . Como los t erminos x n son distintos, como m aximo uno de ellos puede ser igual a a . Descart andolo, caso de que este exista, tendremos que a es el l mite de una sucesi on de puntos x n X- { a } , luego a X 1. Descripcion de la demostraci on 1. Sea X infinito y acotado: X posee un subconjunto infinito numerable { x 1 ,x 2 ,...,x n ... } Si X es infinito contiene un subconjunto numerable por que todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable: x 1 ,x 2 ,...,x n ,... 2. Fijando esta numeraci on tenemos una sucesi on x n de t erminos, distintos dos a dos pertenecientes a X . Sea Q = { x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n ... } Si Q = { x 1 ,x 2 ,...x n } es numerable. Entonces existe f : N Q , f biyectiva. es inyectiva, por lo que: x 1 6 = x 2 6 = x 3 6 = ...x n Para todo n N Y pertenecen a X para que Q X entonces ( x i )(( x i Q ) x i X ). 3. Por tanto una sucesi on acotada que porTeorema Bolzano Weistrass, posee una sucesi on convergente Q est a acotada por que X est a acotada. Como X esta acotada. Para todo x X , existe c tal que: | x | c Y para todo x n Q , x n X para todo n N Entonces: | x n | c para todo n N Porque x n X ....
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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