Analisis 2_9 - EJEMPLO 2 Dado un numero real a...

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Unformatted text preview: EJEMPLO 2 Dado un numero real a <- 1 , y consideramos la ( a n ) n N y consideramos la subsucesi on a n k donde n k es de la forma 2 n- 1 : N- N k 7 2 k- 1 ( x )( n ) = x ( ( n )) = x (2 n- 1) = a 2 n- 1 Tenemos entonces que al elevar a 2 n- 1 a la desigualdad a <- 1 tenemos: a 2 n- 1 <- 1 para todo n N Por lo que la subsucesion a n k tiene una cota inferior. Teorema 1. Toda sucesion monotona y acotada es convergente. Demostracion. Sea ( x n ) mon otona y, supongamos que creciente. escribimos X = { x 1 ,....x n ,... } y a = sup X . Afirmamos que a = l m x n . en efecto, dado > 0, el numero a- no es cota superior de X. luego existe un n tal que a- < x n < a .As n > n a- < x n < a + , de donde l m x n = a 1. Estudio de la Demostraci on Sea una suceci on cualesqiera x n , acotada y mon otona. Por la definici on de acotaci on tenemos: Existe un a R donde a > 0 tal que | x n | a y por definici on de mon otonia tenemos que: x n x n + 1 para todo...
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