Analisis 2_11 - CAMPO DE LOS REALES 26 de marzo de 2011 1....

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Unformatted text preview: CAMPO DE LOS REALES 26 de marzo de 2011 1. R es un cuerpo completo A continuaci on acabaremos nuestra caracterizacion de R , describi endolo como un cuerpo ordenado y completo, propiedad que no cumple Q . Un conjunto X R se dice acotado superiormente cuando existe b R tal que x b para todo x X . En este caso se dice que b es una cota superior de X . An alogamente, se dice que el conjunto X est a acotado inferiormente cuando existe a R tal que a x para todo x X . Entonces el numero a es una cota inferior de X . Si X est a acotado superiormente e inferiormente se dice que es un conjunto acotado . Esto significa que X est a contenido en algun intervalo acotado de la forma [ a,b ], o, equivalentemente, que existe k > 0 tal que x X | x | k . Sea X R acotado superiormente y no vac o. Un numero b R se llama supremo del conjunto X cuando es la menor de las cotas superiores de X . De forma expl cita, b es el supremo de X cuando cumple las dos condiciones siguientes: S1. Para todo x X se tiene x b . S2. Si c R es tal que x c para todo x X , entonces b c La condici on S2 admite la siguiente reformulaci on: S2 . Si c < b entonces existe x X tal que c < x . En efecto, S2 afirma que ningun numero real menor que b puede ser una cota superior de X . A veces S2 se escribe as : para todo > 0 existe x X tal que b- < x . Escribiremos b = sup X para indicar que b es el supremo del conjunto X . An alogamente, si X es un conjunto no vac o acotado inferiormente se dice que un numero real a es el nfimo de X , y se escribe a = nf X , cuando es la mayor de las cotas inferiores de X . Esto es equivalente a las dos afirmaciones siguientes: I1. Para todo x X se tiene a x . I2. Si c x para todo x X , entonces c a . La condici on I2 se puede formular tambi en as : I2 . Si a < c entonces existe x X tal que x < c . De hecho, I2 nos dice que ningun numero mayor que a es una cota inferior de X . Equivalente- mente: para todo > 0 existe x X tal que x < a + ....
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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