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Analisis 2_12 - 1 L mtes y Desigualdades Sea P una...

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1. ımtes y Desigualdades Sea P una propiedad referente a los t´ erminos de una sucesi´ on ( x n ). Diremos que ”para todo n suficientemente grande x n cumple la propiedad P ”para significar que . ex iste n 0 N tal que n n 0 x n cumple la propiedad P . Teorema 1. Sea a = l´ ım x n . Si b < a entonces, para todo n suficientemente grande, se tiene b < x n . An´alogamente, si a < b entonces x n < b para todo n suficientemente grande. Demostraci´on. : Tomando ε = a - b , tenemos ε > 0 y b = a - ε . Por la definici´ on de l´ ımite, existe n 0 N tal que n > n 0 a - ε < x n < a + ε b < x n . La otra afirmaci´ on se prueba de forma an´ aloga. DESCRIPCI ´ ON DE LA DEMOSTRACI ´ ON Si b < a para n suficientemente grande b < x n y viceversa Tenemos ε = a - b , ε > 0 Existe n 0 ε N tal que: n > n 0 ⇒ | x n - a | < ε - ε < x n - a < ε a - ε < x n < ε + a a - a + b < x n < a - b + a b < x n < 2 a - b Tenemos b < x n Si b > a tenemos que demostrar b > x n ε = b - a ε > 0 n 0 N n > n 0 a - ε < x n < a + ε a - b + a < x n < a + b - a 2 a - b < x n < b Tenemos b > x n Corolario 1. . Sea a = l´ ım x n . Si a > 0
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