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Analisis 2_13 - Ejemplo 1.Si x n> para todo n ∈ N y l´...

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Unformatted text preview: Ejemplo 1. .Si x n > para todo n ∈ N y l´ ım( x n +1 x n ) = a < 1 entonces l´ ım x n = 0 . En efecto, tomemos c ∈ R con a < c < 1 . Entonces < x n +1 x n < c para todo n suficientemente grande. Se sigue que < x n +1 = ( x n +1 x n ) x n < cx n < x n , luego, para n suficientemente grande, la sucesi´on ( x n ) es mon´ otona y acotada. Sea b = l´ ım x n . De x n +1 < c · x n para todo n suficientemente grande resulta, haciendo n → ∞ , que b ≤ c · b , esto es, (1- c ) b ≤ . Como b ≥ y < c < 1 , conclu´ ımos que b = 0 . Ejemplo 2. . Si x n > para todo n ∈ N y l´ ım( x n +1 x n ) = a < 1 entonces l´ ım x n = 0 . En efecto, tomamos c ∈ R con a < c < 1 . Entonces < x n +1 x n < c para todo n suficientemente grande. Se sigue que < x n + 1 = ( x n +1 x n ) x n < cx n < x n , luego, para n suficientemente grande, la sucesi´ on ( x n ) es mon´otona y acotada. Sea b = l´ ım x n . De x n + 1 < c · x n para todo n suficientemente grande resulta, haciendo n → ∞ , que b ≤ c · b , esto es, (1- c ) b ≤ . Como b ≥ y < c < 1 , conclu´ ımos que b = 0 . Ejemplo 3. . Como aplicaci´on del ejemplo anterior, se obtiene que, si a > 1 y k ∈ N son constantes, entonces: l´ ım n k a n = l´ ım a n n ! = l´ ım n ! n n = 0 En efecto, escribiendo x n = n k a n ,y n = a n n ! y z n = n ! n n resulta y n +1 y n = a n + 1 , luego l´ ım( y n +1 y n ) = 0 y, por el Ejemplo anterior, l´ ım y n = 0 . Tambi´ en tenemos x n +1 x n = (1 + 1 n ) k · a- 1 , por tanto (por el Teorema 8) x n +1 x n = 1 a < 1 . Del Ejemplo anterior se deduce que l´ ım x n = 0 . Finalmente, z n +1 z n = 1 e . (Vea el Ejemplo 5 m´as ade- lante). Como 1 e < 1 , se sigue que l´ ım z n = 0 . Ejemplo 4. . Dado a > demostraremos que la sucesi´on dada por x n = n √ a = a 1 n tiene l´ ımite igual a 1 . En efecto, se trata de una sucesi´on mon´otona (estrictamente decreciente si a > 1 y creciente si a < 1 ) y acotada, por lo tanto existe L = l´ ım a 1 n . Se tiene L > . En efecto, si < a < 1 entonces a 1 n > a para todo n ∈ N , de donde L ≥ a . Sin embargo, si a > 1 entonces a 1 n > 1 para todo n ∈ N , de donde L ≥ 1 . Consideremos la subsucesi´on ( a 1 n ( n +1) ) = ( a 1 2 ,a 1 6 ,a 1 12 ,... ) . Como 1 n ( n +1) = 1 n- 1 ( n +1) el Teorema 2 y el apartado 3 del Teorema 8 nos dan: L = l´ ım a 1 n ( n +1) = l´ ım a 1 n a 1 ( n +1) = L L = 1 Ejemplo 5. . Sea < a < 1 . La sucesi´on cuyo t´ ermino general es x n = 1 + a + ... + a n = (1- a n +1 ) 1- a es estrictamente creciente y acotada, pues x n < 1 (1- a ) para todo n ∈ N . Adem´as, l´ ım( 1 (1- a )- x n ) = l´ ım a n (1- a ) = 0 , por lo tanto l´ ım x n = l´ ım(1 + a + ... + a n = 1 (1- a ) ....
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