Analisis 2_13 - Ejemplo 1. .Si x n > para todo n...

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Unformatted text preview: Ejemplo 1. .Si x n > para todo n N y l m( x n +1 x n ) = a < 1 entonces l m x n = 0 . En efecto, tomemos c R con a < c < 1 . Entonces < x n +1 x n < c para todo n suficientemente grande. Se sigue que < x n +1 = ( x n +1 x n ) x n < cx n < x n , luego, para n suficientemente grande, la sucesion ( x n ) es mon otona y acotada. Sea b = l m x n . De x n +1 < c x n para todo n suficientemente grande resulta, haciendo n , que b c b , esto es, (1- c ) b . Como b y < c < 1 , conclu mos que b = 0 . Ejemplo 2. . Si x n > para todo n N y l m( x n +1 x n ) = a < 1 entonces l m x n = 0 . En efecto, tomamos c R con a < c < 1 . Entonces < x n +1 x n < c para todo n suficientemente grande. Se sigue que < x n + 1 = ( x n +1 x n ) x n < cx n < x n , luego, para n suficientemente grande, la sucesi on ( x n ) es monotona y acotada. Sea b = l m x n . De x n + 1 < c x n para todo n suficientemente grande resulta, haciendo n , que b c b , esto es, (1- c ) b . Como b y < c < 1 , conclu mos que b = 0 . Ejemplo 3. . Como aplicacion del ejemplo anterior, se obtiene que, si a > 1 y k N son constantes, entonces: l m n k a n = l m a n n ! = l m n ! n n = 0 En efecto, escribiendo x n = n k a n ,y n = a n n ! y z n = n ! n n resulta y n +1 y n = a n + 1 , luego l m( y n +1 y n ) = 0 y, por el Ejemplo anterior, l m y n = 0 . Tambi en tenemos x n +1 x n = (1 + 1 n ) k a- 1 , por tanto (por el Teorema 8) x n +1 x n = 1 a < 1 . Del Ejemplo anterior se deduce que l m x n = 0 . Finalmente, z n +1 z n = 1 e . (Vea el Ejemplo 5 mas ade- lante). Como 1 e < 1 , se sigue que l m z n = 0 . Ejemplo 4. . Dado a > demostraremos que la sucesion dada por x n = n a = a 1 n tiene l mite igual a 1 . En efecto, se trata de una sucesion monotona (estrictamente decreciente si a > 1 y creciente si a < 1 ) y acotada, por lo tanto existe L = l m a 1 n . Se tiene L > . En efecto, si < a < 1 entonces a 1 n > a para todo n N , de donde L a . Sin embargo, si a > 1 entonces a 1 n > 1 para todo n N , de donde L 1 . Consideremos la subsucesion ( a 1 n ( n +1) ) = ( a 1 2 ,a 1 6 ,a 1 12 ,... ) . Como 1 n ( n +1) = 1 n- 1 ( n +1) el Teorema 2 y el apartado 3 del Teorema 8 nos dan: L = l m a 1 n ( n +1) = l m a 1 n a 1 ( n +1) = L L = 1 Ejemplo 5. . Sea < a < 1 . La sucesion cuyo t ermino general es x n = 1 + a + ... + a n = (1- a n +1 ) 1- a es estrictamente creciente y acotada, pues x n < 1 (1- a ) para todo n N . Ademas, l m( 1 (1- a )- x n ) = l m a n (1- a ) = 0 , por lo tanto l m x n = l m(1 + a + ... + a n = 1 (1- a ) ....
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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