Analisis 6 - Continuidad 26 de marzo de 2011 1. Definici on...

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Unformatted text preview: Continuidad 26 de marzo de 2011 1. Definici on Una funci on f : ( E,d 1 )- ( F,d 2 ), definida en A E , se dice continua en el punto a E , cuando, > 0, se puede obtener > 0, tal que x E y d 1 ( x,a ) < impliquen d 2 ( f ( x ) ,f ( a )) < Las funciones continuas, son un punto central de estudio de la Topolog a, puesto que cumplen una serie de propiedades las cuales se detallan a continuaci on. 2. Algunas propiedades de la Continuidad Teorema 1. f : ( E,d 1 ) ( F,d 2 ) es continua si y solo si para todo A F ,abierto, entonces f- 1 ( A ) es abierto en E . Demostracion. Sea f : ( E,d 1 ) ( F,d 2 ) es continua, sea A F abierto, por demostrar que f- 1 ( A ) es abierto en E . Ahora bien, sea x f- 1 ( A ) nuestra tarea consiste en hallar > 0 tal que B ( x ) f- 1 ( A ) Como x f- 1 ( A ) se tiene f ( x ) A . Dado que A es un conjunto abierto, existe > 0 tal que B ( f ( x )) A Como f es continua se tiene existe > 0 tal que: B ( x ) f- 1 ( B ( f ( x ))) f- 1 ( A ) Entonces f- 1 ( A ) es un conjunto abierto ya que por transitividad se tiene B ( x ) f- 1 ( A ) Ahora bien, probemos el rec proco, es decir: Sea A F abierto y f- 1 ( A ) abierto en E ,por demostrar que f es continua. Para ello , sea > debo hallar > 0 tal que B ( x ) f- 1 ( B ( f ( x ))) Sea A = B ( x ), entonces A es un conjunto abierto, entonces se tiene que B ( x ) f- 1 ( A ) f- 1 ( B ( f ( x ))) es un conjunto abierto. Ahora como x f- 1 ( B ( f ( x ))). Entonces existe un > 0 tal que B ( x ) f- 1 ( B ( f ( x ))) En consecuencia f es continua. Teorema 2. f : ( E,d 1 ) ( F,d 2 ) es continua si y solo si, A F cerrado, entonces f- 1 ( A ) es cerrado en E . 1 Probemos la primera implicaci on Demostracion. Sea A F , cerrado, por la definici on de conjunto cerrado se tiene A c es abierto, ahora bien puesto que f es continua, se tiene que f- 1 ( A c ) es un conjunto abierto, a su vez aplicando nuevamente la definici on de conjunto abierto se tiene [ f- 1 ( A c )] c es otro conjunto cerrado, ahora bien como [ f- 1 ( A c )] c es un conjunto cerrado bastar a probar que f- 1 ( A ) = [ f- 1 ( A c )] c 1. Sea x f- 1 ( A ) p.d. x [ f- 1 ( A c )] c . Demostracion. Ahora bien como x f- 1 ( A ), se tiene que f ( x ) A , de modo que f ( x ) / A c pero no es tan evidente que esto implique que x / f- 1 ( A c ), de modo que hay que demostrarlo, usemos la reducci on al absurdo, Sea f ( x ) / A c y x f- 1 ( A c ) , bien sabemos que f ( x ) / A c de modo que la unica posibilidad que existe es que f ( x ) A (1) ahora bien se sabe que x f ( A ) f- 1 ( x ) A (2) aplicando dicho resultado a nuestra segunda hip otesis se tiene que f- 1 ( x ) A pero esto nos lleva a una contradicci on en ( 1 ). Volviendo a nuestro problema, una vez probada dicha implicaci on se tiene directamente que...
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