Analisis 6 - Continuidad 26 de marzo de 2011 1 Definici´...

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Unformatted text preview: Continuidad 26 de marzo de 2011 1. Definici´ on Una funci´ on f : ( E,d 1 )-→ ( F,d 2 ), definida en A ⊂ E , se dice continua en el punto a ∈ E , cuando, ∀ ε > 0, se puede obtener δ > 0, tal que x ∈ E y d 1 ( x,a ) < δ impliquen d 2 ( f ( x ) ,f ( a )) < ε Las funciones continuas, son un punto central de estudio de la Topolog´ ıa, puesto que cumplen una serie de propiedades las cuales se detallan a continuaci´ on. 2. Algunas propiedades de la Continuidad Teorema 1. f : ( E,d 1 ) → ( F,d 2 ) es continua si y solo si para todo A ⊆ F ,abierto, entonces f- 1 ( A ) es abierto en E . Demostraci´on. Sea f : ( E,d 1 ) → ( F,d 2 ) es continua, sea A ⊆ F abierto, por demostrar que f- 1 ( A ) es abierto en E . Ahora bien, sea x ∈ f- 1 ( A ) nuestra tarea consiste en hallar δ > 0 tal que B δ ( x ) ⊆ f- 1 ( A ) Como x ∈ f- 1 ( A ) se tiene f ( x ) ∈ A . Dado que A es un conjunto abierto, existe ε > 0 tal que B ε ( f ( x )) ⊆ A Como f es continua se tiene existe δ > 0 tal que: B δ ( x ) ⊆ f- 1 ( B ε ( f ( x ))) ⊆ f- 1 ( A ) Entonces f- 1 ( A ) es un conjunto abierto ya que por transitividad se tiene B δ ( x ) ⊆ f- 1 ( A ) Ahora bien, probemos el rec´ ıproco, es decir: Sea A ⊆ F abierto y f- 1 ( A ) abierto en E ,por demostrar que f es continua. Para ello , sea ε > debo hallar δ > 0 tal que B δ ( x ) ⊆ f- 1 ( B ε ( f ( x ))) Sea A = B ε ( x ), entonces A es un conjunto abierto, entonces se tiene que B δ ( x ) ⊆ f- 1 ( A ) f- 1 ( B ε ( f ( x ))) es un conjunto abierto. Ahora como x ∈ f- 1 ( B ε ( f ( x ))). Entonces existe un δ > 0 tal que B δ ( x ) ⊆ f- 1 ( B ε ( f ( x ))) En consecuencia f es continua. Teorema 2. f : ( E,d 1 ) → ( F,d 2 ) es continua si y solo si, ∀ A ⊆ F cerrado, entonces f- 1 ( A ) es cerrado en E . 1 Probemos la primera implicaci´ on Demostraci´on. Sea A ⊆ F , cerrado, por la definici´ on de conjunto cerrado se tiene A c es abierto, ahora bien puesto que f es continua, se tiene que f- 1 ( A c ) es un conjunto abierto, a su vez aplicando nuevamente la definici´ on de conjunto abierto se tiene [ f- 1 ( A c )] c es otro conjunto cerrado, ahora bien como [ f- 1 ( A c )] c es un conjunto cerrado bastar´ ıa probar que f- 1 ( A ) = [ f- 1 ( A c )] c 1. Sea x ∈ f- 1 ( A ) p.d. x ∈ [ f- 1 ( A c )] c . Demostraci´on. Ahora bien como x ∈ f- 1 ( A ), se tiene que f ( x ) ∈ A , de modo que f ( x ) / ∈ A c pero no es tan evidente que esto implique que x / ∈ f- 1 ( A c ), de modo que hay que demostrarlo, usemos la reducci´ on al absurdo, Sea f ( x ) / ∈ A c y x ∈ f- 1 ( A c ) , bien sabemos que f ( x ) / ∈ A c de modo que la ´unica posibilidad que existe es que f ( x ) ∈ A (1) ahora bien se sabe que x ∈ f ( A ) ⇔ f- 1 ( x ) ∈ A (2) aplicando dicho resultado a nuestra segunda hip´ otesis se tiene que f- 1 ( x ) ∈ A pero esto nos lleva a una contradicci´ on en ( 1 ). Volviendo a nuestro problema, una vez probada dicha implicaci´ on se tiene directamente que...
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