analsis 7 - X 1 es compacto. Entonces por Bolzano...

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Teorema 1. Dada una sucesi´on decreciente X 1 X 2 ... X n ... de conjuntos compactos no vac´ ıos, existe (como m´ ınimo) un n´umero real que pertenece a todos los X n . Demostraci´on. Definimos una sucesi´on ( x n ) escogiendo, para cada n N . Esta sucesi´ on est´ a con- tenida en el compacto X 1 , luego posee una subsucesi´ on ( x n 1 ,x n 2 ,...,x nk ,... ) que converge a un punto a X 1 . Dado cualquier n N tenemos x nk X n siempre que n k > n . Como X n es compacto, se sigue que a X n . Esto prueba el teorema. 1. Descripci´on de la demostraci´ on 1. Sucesi´ on decreciente X 1 X 2 ... X n ... 2. ”Definimos una sucesi´on ( x n ) escogiendo, para cada n N , un punto x n X n x n = ( x 1 X 1 ,x 2 X 2 ,...x n X n ) ( x n ) X 1 3. ”Luego posee una subsucesi´on ( x n 1 ,x n 2 ,...x n k ), que converge en un punto a X 1 . Para ( x n ) X 1 , x n est´a acotada por que
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Unformatted text preview: X 1 es compacto. Entonces por Bolzano Weirstrass ( x n ), posee una subsucesi on convergente. Sea ( x n 1 ,x n 2 ,x n 3 ,...x n k ), la subsucesi on de ( x n ), tenemos que ( x n k ) para todo n k N . x n k X 1 para todo n k N Por que ( x n k ) ( x n ) X 1 , para todo n,n k N . Como X 1 es compacto, X es cerrado tenemos: ( x n k ) converge, existe a = l m x n k y a X 1 . 4. Dado cualquier n N , tenemos x n k X n siempre que n k > n . x n k X n para n k > n Por como denimos ( X n ). x n k X n para n k > n Porque X 1 X 2 ... X n ... X n k con n k > n . 1...
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