Anlaisis 8 - El supremo y temas relacionados 26 de marzo de...

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Unformatted text preview: El supremo y temas relacionados 26 de marzo de 2011 Ejercicios: 1. Probar que el supremo y el´ ınfimo de un conjunto son ´unicos. Sugerencia: suponga que α y β son el supremo de un mismo comjunto.Preube que α = β . Demostraci´on: Sea A ⊆ R un conjunto acotado superoiormente y α,β ∈ R . Supongo que α y β son el supremo de A entonces tenemos: a. Para todo x ∈ R α y β son cotas superiores entonces x ≤ α y x ≤ β b. Como β es cota superior de A entonces: α ≤ β (1) Y Como α es cota superior de A entonces: β ≤ α (2) De (1) , (2) y tricotom´ ıa se tiene que: α = β Sea A ⊆ R un conjunto acotado inferiormente y α,β ∈ R . Supongo que α y β son el ´ ınfimo de A entonces tenemos: a. Para todo x ∈ R α y β son cotas inferiores entonces x ≥ α y x ≥ β b. Como β es cota inferior de A entonces: α ≥ β (3) Y Como α es cota inferior de A entonces: β ≥ α (4) De (3) , (4) y tricotom´ ıa se tiene que: α = β 1 2. Sea A ⊆ R . Definimos el conjunto- A como el conjunto de todos los inversos aditivos de los elementos de A; es decir:- A = {- x : x ∈ A } Si A es un conjunto no vac´ ıo y acotado superiormente, probar que- A es no vac´ ıo y acotado inferiormente. Probar, ademas, que- A tiene ´ ınfimo y que ´ ınf(- A ) =- sup A. Demostraci´on: a. Como A es no vac´ ıo entonces existe por lo menos un x ∈ A , ademas como A ⊆ R entonces x ∈ R . Por el axioma del inverso aditivo ten- emos que para todo x ∈ R existe un- x ∈ R , por lo tanto existe por lo menos un- x ∈ - A .Entonces- A es no vac´ ıo. b. Si x ∈ A , y como A ⊆ R entonces x ∈ R . Sabemos que A es acotado superiormente, entonces se tiene que existe α ∈ R para todo x ∈ A tal que: x ≤ α (1) Ademos sabemos que x tine inverso aditivo por tanto: x + (- x ) = 0 (2) De (2) tenemos que: x =- (- x ) (3) Si reemplazamos (3) en (1)tenemos que:- (- x ) ≤ α Esto es eqivalente a:- x ≥ - α (4)- α ∈ R y existe por que es inverso aditivo de α ∈ R , ademas- x ∈ - A por tanto tenemos existe α ∈ R para todo x ∈ A tal que se cumple (4). Entonces- A es acotado inferiormente. c. Sabemos que A es acotado superiormente, entonces se tiene que existe α ∈ R para todo x ∈ A tal que: x ≤ α (5) Por el axioma del supremo sabemos que todo conjunto de n´umeros reales no vac´ ıo y acotado superioemente tiene supremo, entonces co- mo α es cota superior de Atenemos que: supA = α (6) Sabemos que- A es acotado inferiormente, entonces se tiene que existe- α ∈ R para todo- x ∈ - A tal que:- x ≥ - α (7) 2 Suponemos que- β y- α son ´ ınfimos de- A , y ademas- β >- α . Esto es equivalente a- β + α > 0. Si- α es´ ınfimo entonces se tiene que para todo ε > 0 existe- x ∈ - A tal que:- x <- α + ε (8) Como- β + α > 0 tomamos ε =- β + α y reemplazando en (8) tenemos:- x <- α + (- β + α )- x <- β Por lo que- β no puede ser ´ ınfimo y entonces tenemos que- α es el ´ ınfimo de- A y escribimos que:...
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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