bio5 - Biomatemtica y Ecolog a a 26 de marzo de 2011...

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Biomatem´ atica y Ecolog´ ıa 26 de marzo de 2011 Considere el siguiente modelo de crecimiento de poblaci´ on bacteriana: m´ax u c · x ( t ) - R T 0 u ( t ) 2 dt s.a.r x 0 ( t ) = r · x ( t ) + A · u ( t ) · x ( t ) - B · u ( t ) 2 e - x ( t ) x (0) = x 0 Donde: x ( t ): Tama˜no de la poblaci´on u ( t ): Cantidad de nutriente a˜nadido A : Efecto benefico B : Efecto de subproducto r : Tasa de crecimiento x 0 : Poblaci´on bacteriana inicial Sistema de optimalidad y an´alisis del modelo a. Sistema de optimalidad H ( t,x ( t ) ,u ( t ) ( t )) = u ( t ) 2 + λ ( r · x ( t ) + A · u ( t ) · x ( t ) - B · u ( t ) 2 e - x ( t ) ) c.o ∂H ( t,x ( t ) ,u ( t ) ( t )) ∂u = 0 ∂H ( t,x ( t ) ,u ( t ) ( t )) ∂u = - 2 u ( t ) + λ · A · x ( t ) - 2 λ · B · u ( t ) e - x ( t ) u ( t ) = λ · A · x ( t ) 2(1 + λ · B ) s.o λ 0 = - ∂H ( t,x ( t ) ,u ( t ) ( t )) ∂x λ 0 = - λ · r - λ · A · u ( t ) - λ · B · u ( t ) e - x ( t ) λ ( T ) = c b. An´ alisis m´ax u c · x ( t ) - R T 0 u ( t ) 2 dt s.a.r x 0 ( t ) = r · x ( t ) + A · u ( t ) · x ( t ) - B · u ( t ) 2 e - x ( t ) x (0) = x 0 1
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Tenemos c · x ( t ) es la poblaci´on bacteriana en el instante t , si c (0 , 1) la poblaci´ on tiene un crecimiento no acelerado y si c [1 . + ) el crecimiento de la poblaci´
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