Conjuntos finitos - Conjuntos Finitos e Infinitos 26 de...

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Unformatted text preview: Conjuntos Finitos e Infinitos 26 de marzo de 2011 Resumen En este art culo se excibir a los conjuntos finito e infinito y sus diferencias. 1. Introducci on Se mostrar a de forma sencilla las principales divisiones conjuntos y sus propiedades. Tomando como punto de partida los numeros naturales, para posteriormente describir a las conjuntos finitos, infinitos , numerables y sus diferencias principales , para luego introducir el concepto de conjunto enumerable y cardinalidad de un conjunto. 2. Numeros Naturales El conjunto N de los numeros naturales se caracteriza por las siguientes propiedades: 1. Existe una funci on inyectiva s : N N . La imagen s ( n ) de cada numero natural n se llama sucesor de n . 2. Existe un unico numero natural 1 < N tal que 1 6 = s ( n ) para todo n N . 3. Si todo conjunto X N es tal que 1 X y s ( X ) X (esto es, n X s ( n ) X ) entonces X = N Estas afirmaciones pueden ser reformuladas as : 1. Todo numero natural tiene un sucesor, que tambi en es un numero natural; numeros difer- entes tienen sucesores diferentes. 2. Existe un unico numero natural que no es sucesor de ninguno. 3. Si un conjunto de numeros naturales contiene el numero 1 y tambi en contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entonces ese conjunto contiene a todos los numeros naturales. Las propiedades 1 , 2 , 3 de arriba se llaman axiomas de Peano 1 1 Giuseppe Peano (1858- 1932), matem atico italiano, autor del primer ejemplo de fractal. Naci o en Cuneo en 1858 y fue profesor en la Academia Militar de Tur n. Cre o un sistema descriptivo que permit a enunciar cualquier proposicion de l ogica o de matem aticas sin recurrir al lenguaje. 1 En el conjunto de los numeros naturales se definen dos operaciones fundamentales, la adi- cion , que asocia a cada par de numeros naturales ( m,n ) su suma m + n , y la multiplicacion que hace corresponder al par ( m,n ) su producto m n . Estas dos operaciones se caracterizan por las siguientes igualdades, que sirven como definici on: m + 1 = s ( m ); m + s ( n ) = s ( m + n ), esto es, m + ( n + 1) = ( m + n ) + 1; m 1 = m m ( n + 1) = m n + m . Con otras palabras: sumar 1 a m significa tomar su sucesor. Y una vez conocida la suma m + n tambi en es conocido m +( n +1), que es el sucesor de m + n . En cuanto a la multiplicaci on: multi- plicar por 1 no altera el numero. Y conocido el producto m n es conocido m ( n +1) = m n + m . La demostraci on de la existencia de las operaciones + y con las propiedades anteriores, as co- mo su unicidad, se hace por inducci on. Los detalles se omiten aqui. El lector interesado puede consultar el C urso de An alisis Matem atico, vol. 1, o las referencias bibliogr aficas de dicho libro, donde se demuestran (inductivamente) las siguientes propiedades de la adici on y la multipli- caci on: asociativa: ( m + n ) + p = m + ( n + p...
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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