Funciones_Continuas - Funciones Continuas 26 de marzo de...

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Unformatted text preview: Funciones Continuas 26 de marzo de 2011 1. Continuidad de funciones y cerradura de conjuntos Teorema 1.1. f : ( E,d 1 ) ( F,d 2 ) es continua si y solo si para todo A F ,abierto, entonces f- 1 ( A ) es abierto en E . Demostracion. Si f : ( E,d 1 ) ( F,d 2 ) es continua, sea A F abierto, por demostrar que f- 1 ( A ) es abierto en E . Entonces sea x f- 1 ( A ) por demostrar que existe > 0 tal que B ( x ) f- 1 ( A ) Como x f- 1 ( A ) luego f ( x ) A . Dado que A es un conjunto abierto, existe > 0 tal que B ( f ( x )) A Ya que f es continuua se tiene que: B ( A ) Af- 1 ( B ( f ( x ))) f- 1 ( A ) Entonces f- 1 ( A ) es un conjunto abierto. Ahora probemos el reciproco, es decir: Sea A F abierto y f- 1 ( A ) abierto en E ,por demostrar que f es continua. Sea > 0 debo hallar > 0 tal que: B ( x ) f- 1 ( B ( f ( x ))) Sea A = B ( x ), luego A es un conjunto abierto. Por lo que f- 1 ( B ( f ( x ))) es un conjunto abierto. Luego x f- 1 ( B ( f ( x ))). Entonces existe un > 0 tal que B ( x ) f- 1 ( B ( f ( x ))). Por lo que f es continua. 1 Teorema 1.2. Si f es continua, entonces f ( A ) f ( A ) Demostracion. Sea y f ( A ) por demostrar que y f ( A ), pero basta demostrar que: Existe ( y n ) en f ( A ) tal que l m y n = y Ya que y f ( A ), sabemos que existe x A tal que y = f ( x ), de aqui que por ser x punto de adherencia se tiene que: Existe ( x n ) en A tal que l m x n = x , lo cual podemos escribir de la siguinete manera sin que se altere la igualdad: f ((l m x n ) = f ( x ) Pr la continuidad de f tenemos que: l m( f ( x n )) = f ( x ) Y esto es: l m( f ( x n )) = y Con lo que la sucesion que necesitamos es ( f ( x n )) = ( y...
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