Principo de Arquimides

Principo de Arquimides - ser´ a de la forma ma con m ∈ N...

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Propiedad Arquimediana: Dados dos n´umeros reales a , b , con a > 0,existe alg´un n´umero natural n tal que na > b Demostraci´ on Sean a , b R , con a > 0. Por reducci´on al absurdo, supongamos que la tesis no es cierta, es decir na b para todo n R En este caso, es conjunto S = { na : n N } , que no es vac´ ıo, estaria acotado superiormente (por b ), luego por el axioma del supremo tendr´ ıa supremo.Sea s el supremo, es decir s =sup S =sup { na : n N } . Puesto que a > 0, s - a < s ; seg´un la definici´ on de supremo, s - a ya no puede ser cota superior del conjunto S , de modo que existir´a alg´un elemeno en S estrictamente mayor que s - a . dicho elemento
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Unformatted text preview: ser´ a de la forma ma con m ∈ N , y asi s-a < ma .Pero esto implica que s < ma + a = ( m + 1) a y tenemos que ( m + 1) a ∈ S , con lo cual s no es una cota superior de S . Hemos llegado a una contradicci´ on. Aplicada al caso particular a = 1, propiedad arquimediana muestra que el conjunto N de los n´umeros naturales no est´a acotado superiormente por ning´un n´umero real. Como consecuencia de la propiedad arquimediana se puede probar que todo n´umero real est´a com-prendiddo entre dos numeros consecutivos. 1...
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