Teorema_continuidad - Algunas demostraciones sobre...

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Algunas demostraciones sobre Continuidad 26 de marzo de 2011 Ejercicio. Si f de X -→ Y es continua, entonces A X se tiene f ( A ) f ( A ) ¿El rec´ ıproco es verdad? Demostraci´on. Sea x f ( A ) p.d. x f ( A ), pero esto es equivalente a demostrar que existe ( y n ) en f ( A ) tal que l´ ım y n = y . Ahora bien como x f ( A ), sabemos que existe x 1 A tal que y = f ( x 1 ), como x 1 , es un punto de adherencia, existe una sucesi´on ( x n ) A tal que l´ ım x n = x 1 , ahora apliquemos f a cada lado de la expresi´on de modo que f (l´ ım x n ) = f ( x 1 ) pero f es continua de modo que f (l´ ım x n ) = l´ ım f ( x n ) = f ( x 1 ) = y en consecuencia la sucesi´on que busc´abamos es ( y n ) = f ( x n ) tal que l´ ım y n = y . Ahora el rec´ ıproco es verdad, he aqu´ ı una demostraci´on del mismo Demostraci´on. Ahora bien se tiene entonces que si A X tal que f ( A ) f ( A ) se puede asegurar que f de X -→ Y es continua, una manera f´acil de probar que una funci´on es continua es si y solo s´ ı la preimagen de un cerrado es un cerrado, entonces sea
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This note was uploaded on 03/27/2011 for the course MATHEMATIC 504 taught by Professor Carlostrujillo during the Winter '09 term at Buena Vista.

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