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Ejercicios de Teoría de colas

Ejercicios de Teoría de colas -...

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Ejercicios de teor´ ıa de colas Investigaci´ on Operativa II Diplomatura en Estad´ ıstica Curso 07/08 1. En un hospital se dispone de un equipo de m´ edicos que pueden llevar a cabo cierto tipo de op- eraciones quir´urgicas. Los pacientes que requieren estas operaciones llegan al hospital de manera aleatoria, pero se puede suponer que sus tiempos entre llegadas siguen una distribuci´ on exponen- cial con media 3,6 dias. El equipo m´ edico necesita un tiempo para atender a cada paciente que es aleatorio, y que tambi´ en supondremos exponencial con una tasa de 0,3 tratamientos por d´ ıa. Se pide que calcules: a ) El n´umero medio de pacientes en el sistema en un momento cualquiera. b ) El porcentaje del tiempo que el equipo m´ edico est´ a desocupado. c ) El tiempo medio de espera de un paciente. Soluci´ on. Se trata de un problema de teor´ ıa de colas, en el que se nos describe una cola de atenci´ on a pacientes en la que se tiene un tiempo entre llegadas exponencial con media 3,6 y el tiempo de servicio tambi´ en es exponencial con media 1 / 0 , 3 = 3 , 33. El n´umero de servidores es uno (un equipo). Por tanto se trata de una cola M/M/1. Para esta cola, el n´umero medio de pacientes en el sistema viene dado por E [ N ] = ρ 1 - ρ , ρ = λ μ . En nuestro caso, λ = 1 /E [ T ] = 1 / 3 , 6 = 0 , 278 μ = 1 /E [ S ] = 0 , 3 ρ = λ/μ = 0 , 926 Por tanto, el n´umero medio de pacientes en el sistema vale E [ N ] = 0 , 926 1 - 0 , 926 = 12 , 5 El porcentaje de tiempo que el equipo m´ edico est´ a desocupado viene dado para esta cola por 1 - ρ = 0 , 074, esto es, un 7 , 4 % . Por ´ultimo, el tiempo medio de espera de un paciente se puede obtener como E [ W ] = 1 μ ρ 1 - ρ = 3 , 33 × 12 , 5 = 41 , 63 dias . 2. El tiempo que necesita un mec´ anico para reparar m´ aquinas tiene una distribuci´ on exponencial con media de 4 h. Las m´ aquinas que deben ser reparadas llegan a la cola con tiempos entre llegadas que siguen una distribuci´ on exponencial con una tasa de 0.2 m´ aquinas por hora. Si el mec´ anico emplease una herramienta especial, los tiempos medios de reparaci´ on bajar´ ıan a 3 h. Si cada hora de espera de una m´ aquina cuesta 2500 Pta., calcula el ahorro esperado que se tendr´ ıa si se emplease la herramienta especial por m´ aquina reparada, y por hora. Soluci´ on. El ahorro esperado ser´ a el resultado de restar los costes esperados para ambos casos. En el caso de no emplear la herramienta especial, el coste esperado ser´ a igual a 2500 E [ N ] , donde E [ N ] es el n´umero medio de m´ aquinas esperando a ser reparadas (contamos tambi´ en la m´ aquina 1
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que est´ a siendo reparada en ese momento). Para una cola M/M/1, como la distribuci´ on del n´umero de m´ aquinas en el sistema es geom´ etrica con par´ ametro ρ = λ/μ , tenemos que E [ N ] = k =0 kP ( N = k ) = k =0 k (1 - ρ ) ρ k = ρ 1 - ρ . Por tanto, el ahorro vendr´ a dado por A = 2500( E [ N 1 ] - E [ N 2 ]) = 2500 ρ 1 1 - ρ 1 - ρ 2 1 - ρ 2 , donde ρ 1 = 0 , 2 1 / 4 = 0 , 8 , ρ 2 = 0 , 2 1 / 3 = 0 , 6 , con lo que obtenemos A = 2500 0 , 8 0 , 2 - 0 , 6 0 , 4 = 6250 .
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