Problemas de transporte y asignación

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Unformatted text preview: Cap´ ıtulo 5 PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACI ´ ON Este cap´ ıtulo trata dos aplicaciones especiales de la programaci´ on lineal: los problemas de transporte y asignaci´ on . Puesto que ambos problemas se pueden representar con modelos lineales, es posible utilizar el m´ etodo simplex para resolverlos. Sin embargo, dada la estructura especial de estos modelos lineales, se pueden construir m´ etodos m´ as eficaces para su resoluci´ on. En este cap´ ıtulo nos ocuparemos del estudio de estos m´ etodos. 5.1. EL PROBLEMA DE TRANSPORTE En su formulaci´ on inicial, el problema de transporte estudia la distribu- ci´ on de un producto homog´ eneo desde un conjunto de f´ abricas a un conjunto de almacenes o puntos de venta, de modo que se satisfagan las demandas de los almacenes y no se superen las disponibilidades de las f´ abricas, con coste m´ ınimo. Vamos a enunciar un problema que nos servir´ a para desarrollar distintos aspectos de este tema. Una empresa productora de pan tiene dos almacenes A y B desde los cuales debe enviar pan a tres panader´ ıas distintas P 1 , P 2 y P 3 . La oferta de A es de 2000 barras de pan y la de B de 2500 barras de pan. La panader´ ıa P 1 demanda 1500 barras, la panader´ ıa 1 2 CAP ´ ITULO 5. PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACI ´ ON P 2 , 2000 barras y la panader´ ıa P 3 1000 barras de pan. El coste de enviar una barra de pan desde A, a cada una de las P i panader´ ıas, es de 8, 6 y 10 u. m. respectivamente. Este coste unitario es de 10, 4 y 9 u. m. respectivamente si se hace desde B. Encontrar cuantas barras de pan debe enviar cada empresa pro- ductora a cada panader´ ıa de modo que se satisfaga la demanda y el coste sea m´ ınimo. 5.1.1. NOTACI ´ ON En el problema de transporte tendremos m or´ ıgenes O 1 , O 2 , ..., O m y n destinos D 1 , D 2 , ..., D n . En estas condiciones: Cada origen O i ; i = 1 , · · · m dispone de una cantidad a i (oferta) de unidades del producto. Cada destino D j j = 1 , · · · , n solicita una cantidad b j (demanda) de producto. El coste de enviar una unidad desde el origen O i al destino D j es c ij con i = 1 , · · · , m ; j = 1 , · · · , n. Llamaremos x ij al n´umero de unidades que se deben enviar desde cada origen O i hasta cada destino D j para realizar el transporte a coste m´ ınimo. Una primera formulaci´ on del problema, como modelo de programaci´ on lineal ser´ ıa la siguiente: m´ ın z = m ∑ i =1 n ∑ j =1 c ij x ij sujeto a n ∑ j =1 x ij 6 a i ; i = 1 , · · · , m m ∑ i =1 x ij > b j ; j = 1 , · · · , n x ij > 0; ∀ i, j Sumando las variables de holgura necesaria, si el modelo lo precisa, tendr´ ıamos la forma est´ andar del problema de transporte. (Ejemplo con el enuncia- do) 5.1. EL PROBLEMA DE TRANSPORTE 3 5.1.2. PROPIEDADES DE LA MATRIZ A Todo modelo lineal tiene una matriz A de coeficientes tecnol´ ogicos y el problema del transporte no es distinto es esto. Pero su matriz A es muy especial, de hecho su particular estructura lleva a unas propiedades que per-...
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