Tema05 - 5. Corbes B-splines 5.1 Introducci´ o Les corbes...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 5. Corbes B-splines 5.1 Introducci´ o Les corbes definides per un polinomi sobre un ´unic interval s´on sovint inadequades: • Si tenim n punts cal un polinomi de B´ ezier de grau n- 1 i aix` o exigeix un gran n´umero de condicions quan n creix, a m´ es a m´ es de ser un proc´ es ineficient i num` ericament inestable. • ´ Es necessari augmentar el grau si les formes s´on complicades. • ´ Es dif´ ıcil dissenyar; malgrat que es pot canviar els punts de control i els pesos el control no ´ es suficientment local. La soluci´ o resideix a fer servir polinomis a trossos. Volem una representaci´ o de la corba de la forma C ( u ) = n X i =0 f i ( u ) P i on els P i s´ on els punts de control i { f i ( u ) , i = 0 ÷ n } s´ on funcions polin` omiques a trossos que formen una base de l’espai vectorial de totes les funcions polin` omiques a trossos del grau i continu¨ ıtat desitjats per a una successi´o de punts suport U = { u i } i =0 ÷ m . Noteu que la continu¨ ıtat ve donada per les funcions base ja que els punts de control poden ser alterats. A m´ es, els { f i } han de tenir les propietats que presenten, per exemple, els polinomis de Bernstein. Una altra propietat d’aquesta base ´ es el suport local; f i ( u ) no ´ es zero per a un n´umero limitat de subintervals, no tot el domini [ u ,u m ] . Modificar un P i afecta a la corba C ( u ) en els intervals on f i ( u ) no ´ es zero. Exemple 1 Sigui C ( u ) un polinomi a trossos de grau 3 i es suposa que es t´ e m = 3 intervals u = 0 < u 1 < u 2 < u 3 = 1 , nodes o punts de suport, u ∈ [0 , 1] . Denotem per C i ( u ) , 1 ≤ i ≤ 3 els trossos de corba de C ( u ) . 1 Es consideren 12 punts de control P j i que poden variar, es t´ e un espai vectorial ν de polinomis c´ubics definits a U de dimensi´ o 12: 3 polinomis amb 4 coeficients cadascun. Si exigim P 1 3 = P 2 i P 2 3 = P 3 es t´ e continu¨ ıtat a u 1 i u 2 . L’espai ´ es ν (ja que f i ( u ) ∈ C ) de dim 10. Si imposem C 1 , P 1 3 i P 2 3 poden ser escrits en funci´ o d’altres i tenim l’espai ν 1 amb dim 8. ν 1 ⊂ ν ⊂ ν. Si imposem C 2 nom´ es cal iden- tificar 6 coeficients dels polinomis. P 1 P 1 1 P 2 1 P 3 1 =P 2 P 1 2 P 2 2 P 3 2 =P 3 P 1 3 P 2 3 P 3 3 u =0 u 2 u 1 u 3 =1 5.2 Definici´ o i propietats de les funcions base B-spline Les funcions base de les B-splines es defineixen per recurr` encia: sigui U = { u ,...,u m } un vector de nodes (successi´o no decreixent de nombres reals u i ≤ u i +1 , i = 0 ÷ m- 1). Es defineix la i-` esima funci´ o base B-spline de grau p (ordre p + 1), denotada per B i,p ( u ), de la manera seg¨uent: B i, ( u ) = ( 1 si u ∈ [ u i ,u i +1 ) , 0 si u 6∈ [ u i ,u i +1 ) , u i u i+1 1 0 Fig. 5.1 i B i,p ( u ) = u- u i u i + p- u i B i,p- 1 ( u ) + u i + p +1- u u i + p +1- u i +1 B i +1 ,p- 1 ( u ) ....
View Full Document

This note was uploaded on 04/01/2011 for the course MA DCIS taught by Professor Miquelgrau during the Spring '11 term at Universitat Politècnica de Catalunya.

Page1 / 12

Tema05 - 5. Corbes B-splines 5.1 Introducci´ o Les corbes...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online