Tema07 - 7. Corbes racionals 7.1 Corbes de B´ ezier...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 7. Corbes racionals 7.1 Corbes de B´ ezier racionals Corbes racionals Malgrat que els polinomis ofereixen molts avantatges hi ha un nombre important de corbes i superf´ ıcies que no poden ser representades per polinomis: c` oniques i cu` adriques, en general. Exemple 1 Considereu el cercle de radi 1 centrat a l’origen; si es fa ( x ( u ) = a + a 1 u + ··· + a n u n , y ( u ) = b + b 1 u + ··· + b n u n , i es substitueix a l’equaci´ o de la circumfer` encia, es t´ e 0 = x 2 + y 2- 1 = ( a + a 1 u + ··· + a n u n ) 2 + ( b + b 1 u + ··· + b n u n ) 2- 1 = ( a 2 + b 2- 1) + 2( a a 1 + b b 1 ) u + ( a 2 1 + 2 a a 2 + b 2 1 + 2 b b 2 ) u 2 + ··· + ( a 2 n- 1 + 2 a n- 2 a n + b 2 n- 1 + 2 b n- 2 b n ) + 2( a n a n- 1 + b n b n- 1 ) u 2 n- 1 + ( a 2 n + b 2 n ) u 2 n ⇒ a i = b i = 0 , i = n ÷ 1 . Llavors x ( u ) = a i y ( u ) = b , que ´ es una contradicci´ o. Si es pren ( x ( u ) = cos u, y ( u ) = sin u, i es fa el canvi t = tan u 2 , s’obt´ e una representaci´ o en el primer quadrant del cercle unitat en coordenades param` etriques racionals: x ( t ) = 1- t 2 1 + t 2 i y ( t ) = 2 t 1 + t 2 , ≤ t ≤ 1 . ´ Es conegut que les c` oniques poden representar-se mitjan¸ cant funcions racionals com s’ha fet a l’exemple anterior: x ( u ) = X ( u ) W ( u ) , y ( u ) = Y ( u ) W ( u ) , on X ( u ) ,Y ( u )i W ( u ) s´on polinomis. Vegem alguns exemples: 1 Exemple 2 L’el · lipse centrada a l’origen amb semieix a = 1 i b = 2 t´ e per equacions: x ( u ) = 1- u 2 1 + u 2 , y ( u ) = 4 u 1 + u 2 . L’equaci´ o de la hip` erbola de v` ertex P = (0 , 2 3 ) ve dondada per: x ( u ) =- 1 + 2 u 1 + 2 u- 2 u 2 , y ( u ) = 4 u (1- u ) 1 + 2 u- 2 u 2 ....
View Full Document

This note was uploaded on 04/01/2011 for the course MA DCIS taught by Professor Miquelgrau during the Spring '11 term at Universitat Politècnica de Catalunya.

Page1 / 5

Tema07 - 7. Corbes racionals 7.1 Corbes de B´ ezier...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online