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Unformatted text preview: Prof. Tesler Math 10C Jan. 11, 2011 Taylor series of ln(x ) centered at x = 1: ∞ ￿ (−1)n−1 ln(x ) = (x − 1)n n n=1 for 0 < x ≤ 2 Fourth degree Taylor polynomial for ln(x ) near x = 1: P4 (x ) = (x − 1) − Approximating ln(1.2): P1 (1.2) = 0.2 2 (0.2)2 (0.2)3 P3 (1.2) = 0.2 − + 2 3 . . . (0.2)2 (0.2)3 (0.2)10 P10 (1.2) = 0.2 − + − ··· − 2 3 10 . . . P2 (1.2) = 0.2 − (0.2)2 (x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4 + − 2 3 4 Set x = 1.2, so x − 1 = 0.2. = 0.2 = 0.18 ≈ 0.1826667 . . . . . . ≈ 0.1823216 Pn (1.2) for n ≥ 9 starts out with 0.1823216. This is the ﬁrst 7 decimal digits of ln(1.2). Your calculator uses high degree Taylor polynomials to compute ln(x ), sin(x ), exp(x ), and other functions to a certain number of decimal places. y=ln(x) 2 y −3 −2 −1 0 1 0.0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! ! !! !! !! !! !! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !! !! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !!! !! !! !! !! !! !! ! ! ! ! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! ! ! ! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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