solution1

# solution1 - ÍÒ Ú ÐÖ× ØÝ²ÓÓÑÔÙØ ÖÐ Ò...

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ÍÒ Ú ÐÖ× ØÝ²ÓÓÑÔÙØ ÖÐ Ò ÓÖÒÒ ¸ Ë ÖØÑ ÒØ Ò ØÖ Ð ÒÖ Ô ¾ ÈÖÓ ¹ Ï ÒØ Ö ÉÙ ÖØ Ö ¾¼½½ Ð ×Ø ÓÒ Ð Ù × º Ùº Ó ÈÐ × × Ò ÓÑÑ ÒØ× ØÓ Ô× ËÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ø ½ ÈÖÓ Ð Ñ ½ µ C = W log2 (1 + SN R)¸ Û Ö SN R = Pave /W N0 º Pave/N0log2e ≈ 1.44Pave/N0 C (bits/sec) P ave /N 0 Pave/N0 0 W ÆÓØ Ø ØÛ Ò W = Pave /N0 ¸ ⎛ Pave C= log2 ⎝1 + N0 × ⎞ Pave Pave N0 ⎠ = Pave . N0 N0 ÆÓÛ × Ø U = 1/W º Ì Ò U →0 W → ∞¸ C= Ò log2 1 + U Pave U N0 . ÌÓ Ú ÐÙ Ø Ø ÐÑØ × U → 0¸ Û Ò ÒÚÓ Ä³À Ô Ø Ð³× ÖÙÐ Pave U d log2 1 + U →0 dU N0 C= d lim (U ) U →0 dU lim = U →0 lim (Pave /N0 ) log2 e Pave 1 + Pave U/N0 = log2 e . lim (1) N0 U →0 µ ÁÒ Ð ×× Û ÖÚ Ø Ö Ð Ø ÓÒ× Ô¸ SN Rb = Eb 2C/W − 1 . = N0 C/W ½ × C/W → 0¸ Û Ò ´ Ò ÒÚÓÐÚ Ò Ä³À Ô Ø Ð³× ÖÙÐ µ Eb 2C/W − 1 = ln 2 ≈ 0.693 . = lim N0 C/W C/W →0 ÜÔÖ ×× Ò ¸Ø × × 10 log10 (ln 2) ≈ −1.591 dB ÓÖ Ú ÐÙ × Ó (Ù×Ù ÐÐÝ Ø × − 1.6 dB ) . ÛØ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ×Ô ØÖ Ð Ò Ýº Eb /N0 ÐÖ ÖØ ÒØ ×¸ Ö Ð Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ × ÔÓ×× Ð ÈÖÓ Ð Ñ ¾ µ G1 (D) = cj 0 cj 1 = = 1 + D2 , xj + xj −2 0 0 xj −1 0 D cj 0 cj 1 cj 2 G2 (D) = D 1 1 D2 0 D = xj −1 + xj 0 1 = xj + xj −2 0 1 = xj −1 1 µ G1 (D) G2 (D) x 0j c 0j c 1j x 0j x 1j c 0j c 1j c 2j µ ˜ G1 (D) = 1, D 1+D2 ˜ G2 (D) = 1 0 0 1 D 1+D3 D2 1+D3 ÇØ Ò Ú ÖÓÑ G1 (D) Ý Ý 1 + D2 ÇØ Ò ´½µ ´¾µ Ú ´µ ÖÓÑ G2 (D) Ý ÖÓÛ ½ Ý Ý D D 1+D3 ÖÓÛ ½ ØÓ ÖÓÛ ¾ ´¿µ ÅÙÐØ ÔÐÝ ÖÓÛ ¾ 1 D ·ÖÓÛ ¾ ØÓ ÖÓÛ ½ ¾ ˜ G1 (D) ˜ G2 (D) x 0j c 0j c 1j x 0j x 1j c 0j c 1j c 2j µ ˜ H1 (D) = ˜ H1 (D) = D 1+D3 , D 1+D2 , D2 1+D3 , 1 1 ÓÖ H1 (D) = ˜ H1 (D) = D, 1 + D2 ÓÖ D, D2 , 1 + D3 µ ËØ Ø ÖÑ Ò ØÖ ÐÐ × ÓÖ G1 (D) ×Ø Ø ×¸ xj −1 xj −2 ¸ 0 0 Ò ×¸ xj /cj cj º 0 01 0/00 00 0/10 1/00 01 0/01 10 1/10 0/00 1/10 0/01 1/11 0/10 1/00 0/11 1/01 00 00 10 10 01 01 1/11 0/11 11 1/01 11 11 ÐØ Ð ØÓ ÓÙ ÝÓÙ Û Ö ÀÖ × ÒÓØ × ØÓ ÖÛØ Ò × Ø ×Ø Ø ¹ Ó Ø ÖÑ Ò ØÖ ÐÐ × ÖÑ ÖÑ ×Ø Ø ×¸ Ñ ÒØ Ó ×Óº × Ö ÔØ ÓÒ ÓÙØÔÙØ× ÓÖ ØÖ ÐÐ × Ø ÓÒ Ö Ð xj xj /cj cj cj º 0 1 012 ÆÓØ Ø Ø¸ ÁÒÔÙØ× Ò ÒØ Ö ÓÒÒ ÒÔÙØ ×× Ð × Ö Ò ÓÖ G2 (D )¸ ÝÓÙ × ÓÙÐ xj −1 xj −1 xj −2 ¸ Ò ×¸ 0 1 1 jjj Ð ´ º º c0 c1 c2 = 100 → 4µº Ð ÓÖ ×Ø Ø º ÒØ × Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ø ÒÑ ÒØ× ÓÒ Ø 0/0 1/4 2/2 3/6 1537 4062 5173 2604 3715 6240 7351 000 010 100 110 001 011 101 111 000 010 100 110 001 011 101 111 ¿ ÈÖÓ Ð Ñ ¿ µ G(D) = [1 + D2 , 1 + D + D2 ] ºÌ ØÖ ÐÐ × Û Ø Ò ÖÖÓÖ Ú ÒØ Ó À ÑÑ Ò Û Ø ×× ÓÛÒ ÐÓÛº 0/00 1/11 0/01 1/10 00 00 11 00 00 00 00 00 10 10 01 10 11 10 0/11 1/00 0/10 1/01 01 01 01 01 11 11 11 11 µ ÄÓÓ ØØ × ÐÖ ÛØ Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü ÓÐÙÑÒ ¿º ÓÖ Ò ÔÙÒ ØÙÖ Û Ú Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÐÙÑÒ× º º¸ Ö ÑÓÚ Ú ÖÝ ÓÙÖØ ÓÐÙÑÒ¸ ×Ø ÖØ Ò G(D)¸ G0 = [1 1], ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ G=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Ì Ö ×ÙÐØ Ò × ÐÖ Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü G1 = [0 1], 01 11 1 0 1 1 11 10 1 ↑ Ó G2 = [1 1] 11 1 11 10 1 ··· ↑ ÓÖ Ø ÔÙÒ ØÙÖ º º º ×Ø Ò 1 ⎢0 ⎢ ⎢ Gp = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ÀÒ ¸ ÓÖ Ø Ö ×ÙÐØ Ò ÖØ ¾»¿ ÔÙÒ ØÙÖ ⎡ 11 01 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 11 10 10 11 ··· º º º Ó ¸ Gp,0 = Ò 1 0 11 01 1+D 0 Gp,1 = 1+D D 1 0 10 11 Gp (D) = 1 1+D . µ Time-varying punctured trellis with period 2. 0/00 1/11 0/01 1/10 00 0/0 00 1/1 10 1/0 0/1 0/11 1/00 0/10 1/01 time 01 01 1/0 0/0 11 0 11 1/1 1 2 11 01 0/1 00 10 10 i Ä ÑÑ º ÈÖÓÓ º ×Ø Ø df ree ≥ 3. ÖÓÑ ÒÝ ×Ø Ø Ø ØÑ i ≡ 0(ÑÓ 2)¸ Ú Ö Ò Ö Ò × ÙÑÙÐ Ø i ≡ 1(ÑÓ 2)¸ Ú Ö Ò Ö Ò × ÙÑÙÐ Ø ×Ø Ò ∆ = 1º ÓÖ ÙÑÙÐ Ø ×Ø Ò ∆ ≥ 1º ÆÓÛ¸ Ò ÖÖÓÖ Ú ÒØ E Ò× Ø Ø Ñ i ≡ 0(ÑÓ 2)¸ Ø ÚÖ Ò ÖÒ ×Ø Ò ∆1 = 2º Ì Ò Ø ÖÖÓÖ Ú ÒØ Ò ×¸ × Ý Ø Ø Ñ l¸ Ø ÑÖ Ò ÖÒ ØØÑ À ÑÑ Ò Û ØÓ Ø Ú ÒØ × Ø × × ÒÝ × × ×Ø Ò ×Ø Ø ∆ = 2º ÑÖ Ò ÖÓÑ ÖÒ ÒÝ × ØØ ÒÖØ Ö×Ø ×Ø Ô ×Ø Ò ÒÖØ ∆l ≥ 1º Ì Ù×¸ Ø wH (E ) ≥ ∆1 + ∆l ≥ 2 + 1 = 3. ÆÓÛ¸ Ù× Ï ÒØ Ø Ó Ø Ú ÒØ ×Ø ÖØ× ØØÑ i ≡ 1(ÑÓ 2)¸ Ò ÑÙ×Ø Û ØÖ ÐÐ × ×ØÖÙ ØÙÖ ¸ Ò × Ø ×ÓÑ ÙÑÙÐ Ø Ò Ú Ú ÒØ ØÑ l¸ Û ∆1 = 1º Ø Ø ×Ø Ò ∆2 ≥ 1¸ ∆l ≥ 1º À Ò ¸ Ú × ÓÒ Ù× ×Ø Ô¸ Ø Ó Ø Ú ÒØ ØÖ ÐÐ × ÒÒÓØ Ð Ò ¸ ÖÒ Ð×º wH (E ) ≥ ∆1 + ∆2 + ∆l ≥ 1 + 1 + 1 = 3. Éº º Ì º ÓÐÐÓÛ Ò ÖÖÓÖ Ú ÒØ × ÓÛ× Ø Ø Ò Ø df ree = 3. ÆÓØ Ø Ø Ø ×Ø ÖØ× ØØÑ i ≡ 1(ÑÓ 2)º 00 0 00 00 00 0 00 1 10 10 1 01 01 µ Ì Á Û Ö × Ò Ø ÖÒ ØÛÓ ÕÙ ÒØ Ø ÒØ × Ý Ñ Ò ÑÙÑ ×Ø Ò Ó Û Ú ÒØ×¸ Ú ÔÒ Ò ÓÒ Ø ×Ø ÖØ Ò Ø Ñ ¸ ÑÓ ÙÐÓ ¾º ÒÓØ deven f ree Ò dodd , f ree deven = 4 f ree Ï ³Ú Ò ÐÖ ØÖ Á Ý× ÓÛÒ Ø × Ø Ø Ò Ò × dodd = 3. f ree ÒØ Ø ÒÝ ×× Ú ÒØ ×Ø ÖØ Ò ÓÖ ×Ø Ô Ø Ø ÓÒ× × Ö¾ × ½º ∆2 = 1¸ l ×Ø Ô× dodd = 3º ÓÖ deven ¸ Û ³Ú f ree f ree ∆1 = 2 Ò ∆l ≥ 1¸ l ≥ 3º Ï Û ØÓ Ø Ú ÒØ × Ø × 2 i ≡ 0(ÑÓ 2) Ú ÒØº Ò Ó ÒØ wH (E ) ≥ ∆1 + ∆2 + ∆l ≥ 2 + 1 + 1 = 4. × ¾º ×Ø Ô 3¸ Ò Á ∆2 = 0, Ø Ý ÓÖ Ø ÒØ ØÖ ÐÐ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÀÒ Ò ÖÒ Ð Ð× Ñ Ø ÑÔÓ×× Ð ÓÖ Ø Ú ÒØ ØÓ Ò Ø ∆3 ≥ 1º wH (E ) ≥ ∆1 + ∆2 + ∆3 + ∆l ≥ 2 + 0 + 1 + 1 = 4. Ì × ÔÖÓÚ × Ø Ø deven ≥ 4º f ree Ò Ú ÒØ ÚÒ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ×× ÓÛÒ ÐÓÛº 00 00 11 10 00 0 00 00 00 0 00 10 10 1 0 01 10 11 01 ÈÖÓ Ð Ñ µ Ì ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ× ÓÖÑÙÐ × b a udv = uv |b − a b vdu . a ¸ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÐÝ u(y ) = −y −1 √ 1 dv = −(y 2π ) exp − 2 y 2 dy º À Ò Í× Ò Ø ÒØ¸ Û ÐØ Ò ¸ √ v (y ) = ( 2π )−1 exp − 1 y 2 2 ∞ du = y −2 dy Ò Q(x) = ∞ x 1 y y e− 2 y dy 1 2 = = 12 1 1 − √ e− 2 y −√ y 2π 2π x ∞ 2 1 1 1 √ e− 2 x − √ x 2π 2π x ∞ x 1 y2 1 e− 2 y dy 2 1 2 1 y2 ×Ù e− 2 y dy , ØÖ Ø ÓÒ Ø Ö Ø × Ð×Ó ÓÖ x ≥ 0º ËÒ × y −2 exp − 1 y 2 2 Ú × ÓÙÖ ÓÙÒ º × ÔÓ× Ø Ú Ú ÖÝÛ Ö¸Ø Ø ÖÑ Ò ÔÓ× Ø Ú º Ì µ Ç × ÖÚ Ø ØØ ÒÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó x Ò y ÑÔÐ × √ × ×Ù ×Ø ÒØ ÒØ¸ Û ÒÓØ Ø Ø x+y− √ x ≥ 0. Ò ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ó ÚÖ Ð √ 1 Q( x + y ) = √ 2π √ s = t − x + yº Ý ∞ √ x +y Ø × e− 2 dt Ò Ø ÓÒ¸ Û ÒÓÛ Ø Ø t2 ds = dt. Ì ÒØ ÖÐ ÓÑ × √ 1 Q( x + y ) = √ 2π ∞ 0 e− (s+ √ x+y)2 2 ds. ÜÔ Ò Ò Ø ×ÕÙ Ö ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ò Ø Ö ×ÙÐØ Ð Ö ÐÐÝ¸ Û Ò √ Q( x + y ) = = = √ ∞ (s+ x)2 y 1 e− 2 ds ≤ e− 2 √ 2π 0 ∞ y 1 s2 e− 2 ds = e− 2 √ √ 2π x √ −y = e 2 Q( x) 1 √ 2π 1 √ 2π 1 √ 2π ∞ 0 e− e − (s2 +2s √ x+ y + x+ y ) 2 ds ds ds ∞ (s2 +2s √ √ √ x+x)+y+2s( x+y− x) 2 0 ∞ 0 e− √ (s2 +2s x+x) 2 · e− 2 · e−s( y √ √ x +y − x ) Û Ö Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ × × ÓÒ Ø ØØ Ø s≥0 Ò √ x+y− ≤ 1. √ x ≥ 0¸ Û ÑÔÐ ×Ø Ø e √ √ −s( x+y − x) µ Ë ØØ Ò x=0 Ò y = c2 ÒØ Ò ÕÙ Ð ØÝ ÔÖÓÚ Ò Ô ÖØ ´ µ¸ Ý c2 2 Ð × Q(c) ≤ Q(0)e− ÆÓØ Ò Ø Ø . Q(0) = 1 2 Ú×Ø ×Ö Ö ×ÙÐØ Q(c) ≤ 1 − c2 e 2. 2 ...
View Full Document

## This note was uploaded on 04/02/2011 for the course ECE 264 taught by Professor Song during the Spring '11 term at UCSB.

Ask a homework question - tutors are online