álgebra de borel

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Unformatted text preview: DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA E INVESTIGACION OPERATIVA Pr´ acticas de C´ alculo de Probabilidades Curso 2005-2006. Jos´ e A. Mayor FICHA CP-01. Borelianos y combinatoria. 1. σ-´ algebra de Borel en IR Cuando el espacio muestral es un conjunto finito de n elementos, o infinito numerable, podemos considerar sobre el mismos el σ-´ algebra formado por todos sus subconjunto, con potencias respectivas 2 n ´ o 2 | IN | . No obstante, cuando el espacio muestral es el conjunto de los n´umeros reales, esta elecci´on suscita una serie de problemas t´ ecnicos. A continuaci´on vamos a construir un σ-´ algebra de gran inter´ es, empleado cuando el espacio muestral es el conjunto de los n´umeros reales, o un subconjunto del mismo. Sea pues Ω = IR y S la clase de intervalos S = { (-∞ ,x ] | x ∈ IR } Definici´ on. Se define el σ-´ algebra de Borel sobre IR como, B (IR) = σ ( S ) Los elementos de B (IR) se suelen denominar conjuntos de Borel en IR y tambi´ en borelianos . Observemos que a B (IR) pertenecen todas las uniones, intersecciones y diferencias de elementos de S . En particular, dados x,y ∈ IR , con x < y , son elementos de B (IR) , ( x,y ] = (-∞ ,y ]- (-∞ ,x ] { x } = T ∞ n =1 ( x- 1 /n,x ] ( x,y ) = ( x,y ]- { y } [ x,y ) = ( x,y ) ∪ { x } [ x,y ] = ( x,y ] ∪ { x } ( x, + ∞ ) = (-∞ ,x ] c [ x, + ∞ ) = ( x, + ∞ ) ∪ { x } (-∞ ,x ) = (-∞ ,x ]- { x } Los subconjuntos de IR , numerables, por ejemplo, IN , ZZ y IQ . Y, claro est´ a, muchos otros tipos de conjuntos. OBSERVACIONES: 1. Al ser S 1 = { ( x,y ) | x,y ∈ IR ,x < y } ⊆ B (IR) es obvio que B (IR) = σ ( S 1 ) , es decir, hay varias formas de generar los conjuntos de Borel en IR . 2. Como todo abierto en IR , con la topolog´ ıa usual, se puede expresar como uni´ on numerable de intervalos abiertos, se tendr´ a que los abiertos son borelianos, es m´ as, si denotamos por O la clase de los abiertos en IR , es obvio que σ ( O ) = B (IR) , es decir, podemos definir el σ-´ algebra de Borel como el generado por la clase de los abiertos en IR . 3. Es f´ acil ver que esto mismo sigue siendo v´ alido para la clase de los cerrados en IR y para la clase de los compactos en IR . De esta forma se constata la estrecha relaci´on entre la estructura de los borelianos en IR y la estructura topol´ ogica de dicho conjunto. 2. Combinatoria b´ asica La Combinatoria es una rama de las matem´ aticas que, b´ asicamente, estudia la construcci´ on y enumeraci´ on de agru- paciones de elementos pertenecientes a un conjunto, siguien- do determinados criterios. No guarda ninguna relaci´ on es- tructural con el C´ alculo de Probabilidades. Para nosotros es una herramienta m´ as como lo son las integrales o las suce- siones de numeros reales....
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This note was uploaded on 04/04/2011 for the course ECON 101 taught by Professor None during the Spring '11 term at Universidad Anáhuac.

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