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Unformatted text preview: 기구학 강의노트 2020년 담당교수 임승철 - 1 - 목 차 ■ Mechanism의 분석과 설계 (Ch.1)···········3 ■ 변위 해석 (Ch.2)·································17 ■ 속도 해석 (Ch.3)·································25 ■ 가속도 해석 (Ch.4)······························34 ■ 정적 및 관성력 (Ch.5)··························42 ■ 해석적 기구 설계 (Ch.8)·······················57 ■ Cam (Ch.9)········································70 ■ Gear (Ch.10)·····································85 ■ Gear Train (Ch.11)····························92 - 2 - Ch.1 Mechanism의 분석과 설계 용어: - 기구(機構) - link (or bar) - paring 요소 (or 대우 요소 or joint) : 상대 운동 → chain 형성 chain or loop structure closed open chain or loop structure 가정: i) 강체 link, ii) (링크 등의 부피에 관계없이) 운동의 간섭 무 Schematic diagram 사용: 단순 명료 예) 내연 기관 * 하첨자의 의미 Grashof mechanism: - 4-bar linkage로서 Grashof 기준 (즉, S+L≤ P+Q) 을 만족하는 기구 - 3가지 종류 (Fig. 1.5): i) crank rocker… S의 인근 링크 고정 & S가 입력 링크 ii) double rocker… S의 반대편 링크 고정 & S의 인근 링크가 입력 iii) double crank (또는 drag link)… S 고정 & S의 인근 링크가 입력 - Grashof 기준 만족 시 최소한 어느 하나의 링크는 완전 회전 가능 → 해당 링크는 모터 구동에 적합 → crank - 그러나 입력 또는 고정 링크 선택에 따라 singularity (또는 dead point) 발생 가능 - 3 - 예) 그림 (a)에서 3번 링크가 입력 링크인 경우 또는 그림 (b)의 경우, 어느 순간 나머지 두 운동 링크가 일직선화 하면서 삼각형 truss 구 조가 되고 링크 길이의 변형 없이는 그 다음 상태로 진전이 안 됨. → 해당 링크는 모터 구동에 부적합 → rocker - 4 - Expansion: schematic diagram을 사용하므로 확장 가능 Inversion (전이): 고정과 운동 링크를 변경하면 기구의 출력이 변화. 그러나 링크간의 상대 운동은 불변 예) Figs. 1.7 & 1.8 - 5 - 링크의 종류: binary link (2원 링크) ternary link (3원 링크) quaternary link (4원 링크) - 6 - Pairing 요소: - 7 - * lower pair (저차 대우 or full joint): 1 DOF 허용 (즉, 2 DOF 구속) higher pair (고차 대우 or half joint): 2 DOF 허용 (즉, 1 DOF 구속) 예) Fig. 1.9 Mobility (또는 Degree Of Freedom): - 운동 자유도= 기구의 위치를 나타내기 위해 필요한 독립적 좌표의 수 - 평면 운동의 경우, F=3(n-1)-2L-H: Grübler의 공식 여기서 F=운동 자유도, n=링크의 수, L=lower pair의 수, H=higher pair의 수 * 3 DOF 조인트는 mobility 계산 시 무시 * If F=0, fixed 구조 (토목 구조물, 삼각형 truss 등) If F=1, 입력이 1개일 때 운동 예측이 가능한 구조 If F=2, 입력이 2개일 때 운동 예측이 가능한 구조 → 일반적 기계의 경우, F=입력의 수 - 8 - 예) Quick-return mechanism (급속 귀환 기구) → F=1 예) → F=1 → 작동기의 수=1 → F=2 → 작동기의 수=2 (자유 공간, 2D) - 9 - → F=4 * 기타 pairing 요소 Type cam & follower pair, gear Motion roll & pair (치간 접촉 고려) 등 cam & follower pair w/o slip DOF 비고 2 현실적 구속 조건 slip, gear pair w/o slip (마찰차와 같이 피치원간의 roll 1 접촉만 고려), 이상적 구속 조건 (또는 overconstrained) belted pulley pair 등 - 기어, 마찰차, cam 등의 운동 자유도 (w/o slip)= 1 pf) 유성 기어 총 회전각 = 자전 각 +공전 각 = 또는 , 여기서 . - 10 - 예) mobility i) cam과 follower 사이에 slip이 있는 경우, F=3(3-1)-2*2-1=1! ii) slip이 없는 경우, F=3(3-1)-2*3=0 → structure? 예) mobility i) cam과 follower 사이에 slip이 있는 경우, F=3(4-1)-2*3-1=2 → 링크 2에 잉여 자유도 존재! ii) slip이 없는 경우, F=3(4-1)-2*4=1 예) mobility i) 두 기어 사이에 slip이 있는 경우, F=3(3-1)-2*2-1=1! ii) slip이 없는 경우, F=3(3-1)-2*3=0 → structure? → 그러나 실제로는 F=1이므로 overconstrained! - 11 - Transmission angle (전달각): - 출력 링크로의 힘의 전달 관계 - 기구의 quality 판단 척도 (smooth operation) * If =0 , no torque 전달. If =90 , max. torque 전달. - 일반적으로, ∘ ≤ ≤ ∘ 권장 예) 전달각 =? (hint: cosine 법칙 이용) cos → cos - 12 - 벡터 연산: 벡터 표시: bold face 또는 underbar 이용 표현 방법: 도식적 방법, 성분표현, 단위 벡터 사용, 복소수 표현 (직각 좌표계, 극 좌표계) * 극 좌표계 복소수 표현: 벡터의 연산 시 편리 → cos sin : Euler 공식 예 ) : 벡터의 회전 scalar product: ⋅ vector product: × (크기), 방향=? 또는 × - 13 - 특수 기구의 예: - quick return mechanism: 공작 기계 등에 응용 ( ) - parallel mechanism i) pantograph (축도기, F=2) - 14 - ii) drafting M/C - 직선 기구 - 15 - - toggle mechanism: 플라스틱 사출기 등에 응용 - Geneva wheel: 간헐 회전 기구 ( ) - 16 - Ch.2 변위 해석 방법: graphical, algebraic, vectorial means 도식적(graphical) 해석 방법: 컴파스와 자 등을 이용 예) Figs. 2.1 & 2.2 coupler point의 궤적 - 17 - - 18 - 대수학적(algebraic) 방법: cosine 법칙 이용 예) coupler point의 좌표 (x, y) 구함 * If δ>0, open configuration. If δ<0, crossed configuration. → Fig. 2.4 참조 Note: cos-1 0.3= 72.54 - 19 - Vector Loop (Closure) 방정식 이용: - 하나의 복소 방정식에 크기와 방향 정보 동시 포함 예) , =? ... → 미지수 ( , ) 구함 또는 → 미지수 ( , )를 먼저 구한 후 → 미지수 ( , ) 구함 * 편의상 고정 링크의 각 =0로 설정 - 20 - Coupler Curve - 대칭인 경우, 유용성 증대 (자동 삽입 시스템, 다른 기구의 입력 운동) - 대칭 조건: AB=OBB=BC (Fig. 2.8의 경우) - 대칭축: 입력 crank가 2개의 고정점과 정렬될 때, coupler pt.와 출력 링크의 고정점을 지나는 직선 - 21 - Cognate Mechanism - 4절 기구에만 해당 - parent 기구에 대하여 일반적으로 2개의 cognate 기구 존재 - 동일한 coupler curve를 만들되, 고정 pivot 점의 변경 시 유용 예) Figs. 2.9 & 2.10 평형사변형의 원리 이용 - 22 - - C점의 궤적이 상호 일치하며 (위상차는 존재), 입력 에 관계없이 H점 이 고정점이 됨. pf) 좌편 cognate 기구의 경우, ⋯ cos =일정 sin =일정 Ex. 2.4) Fig. 2.11의 cognate 기구 ∡ ∘ , ∡ ∘ → cos , - 23 - sin . Adjustable Mechanism - 기구 설계의 최종 마무리 (fine tuning) 또는 가변 출력 특성을 위하여 링크 길 혹은 (고정) 피봇점 변경 예) dwell 기구 출력 링크의 정지 시간 확보 기구 (https:/ / watch?v=ESpEFJZp- co) - 24 - Ch.3 속도 해석 평면 운동: 선속도 & 각속도 구름 운동 시, 점 S는 회전 또는 순간 중심 → 또는 해석 방법: 1) 성분에 의한 방법 2) 속도의 순간 중심 이용 방법 3) 속도 다각형 이용 방법 4) 해석적 방법 5) 기타 (변위 해석 후 경과 시간 고려) * 1)~3)은 도식적 방법 성분에 의한 속도 해석: - 핵심 아이디어 링크 양단의 링크 방향 속도 성분은 동일 예) Fig 3.2, DOF=?, coupler pt. C점의 속도=?, =?, =? - 25 - 예) Fig 3.3, 상대속도, - 26 - 속도의 순간 중심: - 정의: 다른 링크의 회전 중심이 되는 어떤 링크상의 점 (또는 확장시켜 생각하면) 특정 순간 동일한 속도를 갖는 서로 다른 2개 링크상 의 일치점. 이 때 반드시 속도=0일 필요는 없음. - 개수: 또는 n-다각형의 변을 포함한 대각선의 수, 여기서 n=링크의 수 예) 3절 기구의 경우, 4절 기구의 경우, 예) 다음 4절 기구의 순간 중심의 위치와 커플러의 각속도=? → & - Aronhold-Kennedy의 법칙: 기구내 3개 링크에 관련된 3개의 속도 순간 중심은 반드시 직선상에 존재 - 27 - 예) slider-crank 기구의 순간 중심 위치 예) 5절 기구의 순간 중심 위치 * cam & 요동 follower간의 상대 운동 → higher pair * DOF=1 * 에 주의 (다음 그림 참조) - 28 - roll w/ slip pf) - 29 - 속도의 순간 중심을 이용한 속도 해석: 예) , =? * slider의 속도는 어느 점에서나 동일 → * - 30 - 속도 다각형: - 상대속도 개념을 도식화한 다각형 → 속도해석 - 동일 링크상의 두 점간 상대속도: 크기= , 방향=링크와 직교 예) =? → 속도 다각형 (벡터식 1개, 미지수 ) 예) , , =? - 31 - : 미지수=, → 다각형 (해 구함!) & : 미지수= , , → 다각형 : 미지수= , → 다각형 * 속도 다각형 중 △ 3원 링크 △ 보조점의 사용: 기구가 복잡하여 속도 다각형을 직접 구축하기 곤란할 때 예) =? : 미지수 , → 풀이 불가! 대신에 링크 4상의 보조점 G를 도입하여 구함. & 그런 다음, : 미지수 , , : 미지수 , - 32 - → 해 구함 → 해 구함 해석적 속도 해석: 변위 해석 식을 시간 미분 예) & =? Loop Eq. : 시간 미분한 후 실수부와 허수부를 구별하여 정리하면, 2개의 미지수 ( , )를 포함한 2개의 식 얻음. 이 때 연립 방정식을 풀기 위하여 Cramer’s rule 사 가능 ... sin sin → , sin sin - 33 - Ch.4 가속도 해석 개념: 링크 길이가 일정한 경우, lim lim → → = + , 여기서 은 크기= 인 법선 (구심) 방향 가속도, 는 크기= 인 접선 (회전) 방향 가속도 벡터 도식적 가속도 해석: 속도 (선행 작업) 및 가속도 다각형 이용 예) Fig. 4.2, 각 꼭지점의 가속도와 각 링크의 각속도 - 34 - → 구함 & : 미지수 & → 구함 마찬가지로, , : 미지수 & → 구함 , : 미지수 & → 구함 ∴ , , , * 가속도 다각형 중 △ 3원 링크 △ → 2번 링크의 가속도=0인 위치를 알 수 있음 ( - 35 - ) 구름 운동 시의 가속도 ( =const.인 경우) i) 평판의 경우 ( ∞ ), P점의 가속도 , , ∴ ↑ ii) 볼록면의 경우 (Fig. 4.3a), P점의 가속도 ↓ ↓ & ∴ ↑ - 36 - iii) 오목면의 경우 (Fig. 4.3b), P점의 가속도: 마찬가지 방법으로, ↑ Coriolis 가속도 - 개념: Fig. 4.4 ( 동안 등속도로 회전하는 링크상에서 병진 상대 운동 하는 slider의 회전방향 이동 거리 ) 여기서 제 3의 항 한편, 동안의 어떤 가속도를 ∴ (크기) w/ 라고 하면 방향 → × - 코리올리 가속도의 관찰: Fig. 4.4와 같은 등속 bar와 slider의 운동 궤적과 접촉력 등 예) Fig. 4.5 (Quick-return 기구)에서 , , =? - 37 - Note: ≠ → 구함 : 풀이 어려움! 대신에, B3 기준 시 B2의 상대 운동이 단순히 미끄럼 운동임에 착안하여 × : 총 4개 항 미지수 = , → 구함 ∴ , CCW Note: & 항상 성립. 그러나 성분별로 , 성립 (?) - 38 - 또한 : 미지수= , → 구함 ∴ , & = 56 units/s2, ← 해석적 가속도 해석: 변위 해석 식을 2번 시간 미분 - 링크 길이가 일정한 경우 ⋯ 여기서 =회전좌표계의 반경방향 단위벡터, =회전좌표계의 접선방향 단위벡터 - 일반적인 경우 (Fig. 4.10) 변위 속도 ⋯ 가속도 ⋯ 총 4개인 각항의 의미 = ? - 39 - - 벡터 대신 (극 형식) 복소수를 사용하는 경우 ⇒ ⇒ ⋯ 예) 4-bar linkage의 가속도 해석 Loop Eq.을 설정하고 이를 시간에 대하여 2번 미분한 후, 실수부와 허 수부를 구별하여 정리하면 2개의 미지수 와 를 구할 수 있음. - 40 - Coupler 점의 가속도 예) 변위 ⇒ 2회 시간미분한 후 실수부와 허수부로 구별하면 가속도 ⇒ 여기서 ⋯ ⋯ & 는 각각 속도 입력과 해석으로 주어짐 & 는 각각 가속도 입력과 해석으로 주어짐 따라서, 크기 = , 방향 = tan - 41 - Ch.5 정적 및 관성력 기본 원리 (Newton 법칙): → (가장 간단한 형태) , (D'Alembert 표현) , 여기서 ‘ ’와 ‘ ’은 각각 관성력과 관성토크. * 정적 혹은 등속 상태에서 관성력 또는 관성토크=0 힘: 외력과 내력(=반력)으로도 분류 가능 * 표기 방식: 외력은 단일 하첨자, 내력은 이중 하첨자 예) 1번 링크가 2번 링크에 가하는 힘 정적 힘 - 해석의 기본 원리 i) 작용/반작용의 법칙 적용 ii) 임의의 링크에 대하여 & → 힘 다각형 성립 iii) 링크상의 임의 점에 적용 → 공통점 존재 - 42 - 적용 예) 외력(자중 포함)이 없는 양단 회전 관절 링크 → 크기가 같고 방향이 반대인 2개의 축방향 힘만 존재; , , → 2-force system * 공통점: 3-force system에서 3개 힘이 뿐만 아니라 을 만족하기 위하여는 하나의 공통점을 통과하여야 함 → 제3의 미지의 힘에 대한 방향 정보 제공 - 43 - 예) 정적 평형을 유지시키는 구동 토크 → for link 3: 3-force sys.이므로 공통점에 착안하면 w/ 미지수= & → 해 구함 이때 힘 다각형 활용도 가능 for link 2: 2-force sys. w/ 미지수= → 해 구함 for link 1: w/ 미지수= → 해 구함 - 44 - 예) 정적 평형을 유지시키는 스프링 힘 → for link 2: 3-force sys.이므로 공통점에 착안하면 w/ 미지수= & → 해 구함 이때 힘 다각형 활용도 가능 for link 1: 3-force sys.이므로 공통점에 착안하면 w/ 미지수= & → 해 구함 - 45 - 마찰 - 마찰각과 마찰원의 개념 예) Fig.5.4, 미끄럼 마찰 4번 링크로부터의 총 반력 여기서 =마찰 계수, tan =마찰각=총 반력이 법선과 이루는 각 → 무 마찰의 경우, 마찰각 - 46 - 예) Fig.5.5, 회전 핀의 마찰 2번이 3번 링크에 가하는 총 반력 총 반력이 법선과 이루는 각 = 마찰각 따라서 아래 기하학으로부터 sin 여기서 과 은 각각 마찰원의 반경과 핀의 반경 → 무 마찰의 경우, 마찰원의 반경 - 47 - 관성력 (Inertia Force) - 질점의 경우: - 강체의 경우: 또는 임의 점 B의 가속도 이므로 마찬가지 방법으로 여기서 또는 = mass moment of inertia - 48 - - 관성력과 관성토크는 하나의 total 관성력으로 대체 가능하며, 이때 질량 중심으로부터의 이격 거리 . 예) Fig. 5.12, Center of Percussion까지의 거리 GB=? * Center of Percussion=링크 직교 방향으로 충격이 가해졌을 때 회전 중심에서의 반력 변화가 없는 점 (golf club, tennis racket 등의 sweet spot) - 49 - → 이므로 & , , ∴ = const. for a fixed 한편, 라고 하면 . radius of gyration (회전 반경) 해석적 힘 해석 (동적) - 원리: D'Alembert 표현에 따라 모든 자유 링크 (free body)에 대하여 & 적용 예) 요구 운동을 발생시키기 위한 입력 토크 - 50 - 자유 물체도 (b) → , , sin cos sin cos 자유 물체도 (c) → , - 51 - , sin cos sin cos 자유 물체도 (d) → , , sin cos sin cos → 식 9개, 미지수 9개 (8개 반력 +1개 입력 토크) → 해 구함 밸런싱 - 분류: 정적 균형 & 동적 균형 i) 정적 균형: 기구가 정지된 상태에서 자중만에 의한 불균형 힘 또는 토크의 최소화 예) 타워 크레인 ii) 동적 균형: 기구가 운전 상태에서 자중+관성력에 의한 불균형 힘 또는 토크의 최소화 - 목적: 불균형 힘/토크에 의한 축의 변형, 파괴, 베어링 수명 감소, 주변 기계의 가진 등을 방지 - 방법: coutermass에 의한 반대 방향 자중 또는 관성력 발생 - 52 - 예) Fig.5.18, 동일 평면상에 복수 하중 분포 → & 따라서 정적 균형 이룸. 그러나 축의 회전 시에는 원심력에 의한 동적 불균형 발생. 예) Fig. 5.19 & 20, 복수 평면상에 편심 질량이 분포하는 경우 - 53 - 관성력에 의한 베어링 A에서의 반작용 토크=0이 되기 위한 베어링 B에 서의 반력 → : Fig. 5.20(b) 참조 한편, 위 식에서 이 되기 위한 위치에서의 밸런싱=? → → 구함 Slider-crank 기구의 밸런싱 - 불균형 질량이 단순 회전뿐만 아니라 왕복 혹은 기타 다양한 곡선을 따라 운동하므로 밸런싱이 상대적으로 더 어려움 - 54 - 예) 등가 질량의 개념을 도입하여 단순화 크랭크의 등가 질량: 원심력이 불변하도록, 커플러의 등가 질량: 전체 질량, 질량 중심 위치, 이너셔 등이 불변하도록 & 결정 → , , → 식 3개 & 미지수 2개 → 근사 최적치 결정 에 의한 관성력 , 에 의한 관성력 ≅ cos cos for sin ≪ * Note: 피스톤의 변위와 가속도 cos sin cos cos cos → - 55 - 한편, sin sin의 관계로부터 와 그의 시간 미분 값들을 , const 의 함수로 구할 수 있음. 따라서 ∴ shaking force (동적 불균형 힘) → 를 최소화시키기 위하여 counterweight 설치 바람직 → - 56 - Ch.8 해석적 기구 설계 분석 vs. 설계 Freudenstein's Eq.: - 4절 함수 발생 기구 설계에 유용 - 루프 방정식(Eqs. 8.1 & 8.2)으로부터 를 소거하면 3개의 링크 길이의 비와 2개의 각(입/출력)을 포함하는 방정식 얻음. cos cos cos (8.1) sin sin sin (8.2) cos cos cos : Freudenstein's Eq. 여기서 , , . - 57 - 예) Ex.8.1, cos 함수 발생 기구 설계 60 0.5 50 0.642 35 0.819 20 0.940 15 0.966 * 3개의 정밀 위치 * scale factor 설정: 입출력변수를 각각 과 로 변환 , 대응시킴 , , , (입출력 변수의 범위) , (대응 각의 범위) , (초기 각) → scale factor , → 정밀 위치 → Freudenstein's Eq.에 대입하여 미지수 구함 (식 3개, 미지수 3개) , , → , ± , , (scale up 또는 down 가능) * Matlab 사용시 편리: → ╲ - 58 - → check: 전달각 & Grashof 기준 → NG! → scale factor 조정하여 재설계 필요 최소 자승 오차 법과 Freudenstein 방정식 - 정밀 위치가 4개 이상 요구될 때 유용 * If # of Eqs. > # of unknowns, 근사해만 존재 - 자승 오차 cos cos cos 최소화 (필요) 조건 ( )로부터 , , 구함 (8.4) (8.5) (8.6) - 59 - 예) Ex. 8.2, cos , 10개 정밀 위치 요구 60 .500 55 .574 50 .642 45 .707 40 .766 35 .819 30 .866 25 .906 20 .940 * scale factor 설정: 입출력 변수를 각각 과 로 변환시킴 , , , , , → scale factor: , 식 (8.4)~(8.6)와 표 8.1로부터 , , → , , → , ± , , (방향 유의!) - 60 - 15 .966 FIGURE 8.3 Solution for Example 8.2 (정정) → check: 전달각 & Grashof 기준 불만족 → 예제 8.1과 상당히 다른 결과 (scale factor 차이) Freudenstein 방정식에 의한 속도 및 가속도 설계 - 기구의 특정 위치에서 1차, 2차 미분 값까지 지정 ≡ , ≡ 위에서 이면, =속도 & =가속도 - Freudenstein 방정식과 그의 에 대한 1 & 2차 미분형 , , → 식 3개, 미지수 3개 → , , 구함 - 61 - 성분에 의한 변위, 속도, 가속도 동시 설계 (4절 기구) - 대수적 방법 (x, y 성분) - 대수식 6개: From configuration, (8.10) (8.11) 여기서 & , From vel. polygon ( ), (8.12) (8.13) From acc. polygon ( ), (8.14) (8.15) - 62 - - 미지수 총 13개: 고정 링크의 길이 1개 3개 운동 링크 길이의 x & y 성분 각속도 각가속도 6개 3개 3개 * 식의 수 < 미지수의 수 → 무한개의 해 존재 ∴ 7개 파라미터는 지정할 필요가 있음. - 각속도와 각가속도가 주어진 경우에 더욱 유리한 방법임 → 6개 선형 대수식, 6개 미지수 ( 제외 시) 예) Ex.8.3, 성분에 의한 4절 기구 설계 조건: , , , , , , → 식 (8.10)~(8.15)로부터 , , → check: 전달각 & Grashof 기준 불만족 → 미흡한 기구 - 63 - Loop 방정식 이용 함수 발생 기구 설계 (4절 기구) - 3개 위치에서의 입력각과 출력각 조건을 만족시키는 경우, 다음의 3개 루프 방정식 성립. , , → 실수부와 허수부로 분리하면 6개의 대수식, ( 제외 시) 미지수 6개: , , , , , 구함 - 특징: i) 식의 개수가 Freudenstein 방법보다 2배 많음, ii) ( )에 관한 초월 함수 방정식 → 난해 - 64 - 초기 위치로부터 2개의 coupler 각과 변위가 지정된 경우의 초기 위치 기구 설계 (4절 기구) → 운동 발생 기구 - & (또는 )가 지정됨. 여기서 . * coupler가 강체이므로 = = . - 그림의 왼쪽 루프 방정식 또는 (8.21) (8.22) for → 를 자유 선택하여 한 쌍 & 를 구함. 마찬가지로, 오른쪽 루프의 방정식 for → 를 자유 선택하여 한 쌍 & 를 구함. - 65 - 그런 다음, 아래 식들로부터 와 를 구함. , (8.23) (8.24) * 위 연산 과정 중, 복소 미지수와 계수들을 실수처럼 취급하여 Cramer’s rule 사용 가능 예) Ex. 8.5, valve 개폐용 4절 기구의 초기 위치 설계 , , , 가 지정됨 → 자유 선택: , , , , 식 (8.21)~(8.24)로부터 ~ 구함. - 66 - - 67 - Ground Loop Equation 방법 (4절 기구) - 3개 위치에서의 입력 링크의 각도와 그에 해당하는 coupler pt.의 위치 ( )가 ground 좌표계에 관하여 명시된 경우의 초기 위치 기구 설계 → path 발생 기구 - ground 좌표계 global 좌표계 (↔ local 좌표계) - 방법 1: 좌측 루프로부터 (8.27a) , =2,3 (8.27b) , =2,3 → (8.27c) , , 를 자유 선택하여 식(8.27c)로부터 한 쌍 & 를 먼저 구하고, 다음으로 식(8.27a)로부터 구함. 마찬가지 방법으로, 우측 루프로부터 - 68 - (8.28a) , =2,3 → 한편, & (8.28b) (8.28c) 이므로 , , 만을 자유 선택하여 (8.28c)로부터 한 쌍 & 를 구한 후, 식 (8.28a)로 구함. 최종적으로, 아래 두식으로부터 나머지 미지수 , 구함. , (8.28d) (8.28e) - 방법 2: @ 3 위치 → 벡터식 3개, 미지수 7개 (, , , , , , ) @ 3 위치 → 벡터식 3개, 미지수 7개 (, , , , , , ) * 위 식에서 , , 는 자유 선택. & → 대수식 2개, 미지수 0개 → 대수식의 개수=3*2+3*2+2=14, 미지수의 개수=7+7=14 → 해 구함 ( , , , , , ) 그런 다음, 아래 식들로부터 나머지 미지수 , 구함. , → 설계 완료 → 기구의 품질 점검 * 방법2의 경우, 연립방정식의 크기가 커지며 각도에 관한 비선형 초월 함수식을 풀어야하는 단점. - 69 - Ch.9 Cam 응용 자동화 기계의 timing 조정 (내연 기관의 흡/배기 밸브 개폐 등) 유형: - 70 - follower (종동절) 용어 대개 스프링 힘에 하여 접촉 유지 rise, fall, dwell (각도), & lift - 71 - 캠 변위 선도 - 캠의 1회전 동안의 folllower의 운동 표현 예) Fig. 9.3 disk cam & roller follower - 일반적으로 캠은 등속 운동하므로 변위 선도의 수평축은 시간적 의미 - rise, dwell, fall 등이 지정된 경우, 속도나 가속도, 압력각 등의 설계는 어느 정도 선택의 여유 존재 → 속도 profile (또는 패턴) 설계 issue (smooth 동작) - 72 - 예) Fig. 9.4, 등속 패턴 (a)와 같이 캠을 설계하는 경우, 정속 (또는 등속) profile이 되어 → : 가속도= ∞ 되는 순간 존재 → 현실적으로 실현 불가능. 이에, (b)와 같은 속도 패턴을 갖도록 캠의 재설계 필요! - 73 - 예) Fig. 9.5, 등가감속 패턴 & → , , : 실현 가능한 운동, 그러나 ∞ jerk 발생 문제. - 74 - 예) Fig. 9.6 & 9.7, 단순 harmonic 곡선형 속도 패턴 & → , , : 개선된 운동, 그러나 여전히 dwell 전후에서 - 75 - ∞ jerk 발생. 예) Fig. 9.8 & 9.9, cycloid 곡선형 속도 패턴 & & → : 개선된 운동 → 가속도 연속 → 유한 jerk 발생. - 76 - Ex 9.1) Fig. 9.11, 조합형 속도 패턴 rise 중 3개 구간과 해당 속도패턴이 주어지고, 전체가 매끄러운 운동이 되 기 위한 각 구간의 lift , , 를 구함. → ∞ 가속도를 방지하기 위하여 각 연결점에서의 속도를 일치시킴: (다음 그림 참조) - 77 - (a) (b) & ∴ =0.856, =0.971, =0.673 - 78 - (c) 캠 Profile Layout - 개발 방법: 도식적, 해석적, 수치적 (computer) - 개발 시점: 변위 선도 & 캠 시스템의 유형이 결정된 후 - 용어: 기초원(base circle), offset 예) Fig. 9.12, In-line type, roller-follower cam sys. - 79 - - 개발 절차: 기초원 도시 → 기초원의 각을 등분 → 각 위치에서 변위 선도 적용 → 각 위치에서 follower 도시 → 각 위치에서 follower circle에 접선 도시 예) Fig. 9.13, offset flat-faced follower cam sys. → smooth curves tangent to the foot lines of follower! - 80 - 압력각 - cam과 follower의 접촉점에서의 공통 법선과 follower 동작선이 이루 는 각 (Fig. 9.14의 각 ) - 작을수록 힘의 전달이 용이하며, follower 지지 베어링에도 유리 (∵ 지나친 베어링 side force는 마찰을 증대시키며 베어링 수명 단축) - 일반적으로 30 ~35 이하가 바람직함. - 캠의 하강 보다는 상승 구간에서 중요한 인자 (∵ 하강 시에는 스프링 힘 등에 의하여 접촉만 유지되면 충분) - 계산 예: 여기서 =offset 거리, =피치원의 반경= , =lift= , =압력각, =운동각 - 81 - → i) 일 때, tan ii) ≠ 일 때, tan ≅ - 압력각 감소 방법: i) 기초원을 가능한한 크게 ii) 상승 시 를 작게 iii) offset 조 Ex. 9.2) 최대 압력각과 그 때의 캠각 - Fig. 9.14과 같은 캠 시스템 - =30, =90 , =15, =5, =10 - 상승 시, 단순 조화 운동: → 를 구하여 식 (9.1)에 대입한 후 계산해 보면 일 때, max ∘(주교재 참조) * 단, 이때 로 간주함 캠의 제작 i) 소량 저정밀 생산: 도식적 방법에 의한 Layout + Sawing Machine ii) 대량 고정밀 생산: 와 에 기반한 해석적 또는 수치적 방법에 의한 Layout + NC Machine (밀링 & 그라인딩) - 82 - 예) In-line, 디스크 캠-병진 롤러 종동절 계 follower의 동작선을 축으로 하여 위와 같이 회전 좌표계를 설정하고, 캠과 follower 사이의 접촉점의 좌표를 ( , )라면 & 여기서 , =롤러의 반경, =압력각. 한편, cutter 중심의 좌표를 ( , )라고 하면 , 여기서 =end-mill cutter의 반경. 따라서 특별히 라면, 이 되어 롤러 중심의 궤적과 동일. 한편, 다음과 같은 좌표 변환에 의하여 상기 cutter 중심의 궤적을 고정 좌표계 기준으로 표현하는 것도 가능. - 83 - * 기타의 경우에 대하여는 문헌 참조: 조선휘, 신제기구학, 문운당, 1996. - 84 - Ch.10 Gear 마찰차: 접촉점에서 미끄럼이 일어나지 않는다고 가정할 때, → → 기어의 기본 원리, 치에 의한 피치원간의 미끄럼 방지 확보 - 85 - 기어(또는 치차)의 종류: 맞물리는 두 기어의 등속비가 유지되기 위한 기본 조건: - 86 - 맞물리는 이빨사이의 작용선(line of action 또는 공통 법선)이 항상 동일 피치 점 P를 통과하여야 함 → 피치원 형성 → 두 링크의 피치 점에서의 선속도 동일 Note: 피치 점=속도의 순간 중심 , Fig.3.8 참조 치형: 1. cycloidal (사장됨) 2. involute (현재 사용됨) involute 곡선의 생성과 특징 (Figs. 10.4, 10.5): i) 당겨진 줄이 항상 기초원에 접함 ii) 당겨진 줄이 항상 involute 곡선과 직교 → 따라서, 두 이빨의 접촉점에서 상기 줄은 작용선 역할 - 87 - - 88 - 기어 용어: 1) addendum (circle) 2) 피치원 3) dedendum (circle) 4) 기초원 5) face (이끝 면) & flank (이뿌리 면) 6) clearance (틈새) 7) 치두께 & 치공간 8) face 폭 또는 치폭 9) 원주 pitch, 10) (직경) pitch, [/in] → 또는 11) module= [mm] * 대응기어의 경우 모듈의 크기가 동일 12) backlash: 한쪽 기어의 치공간 – 대응 기어의 치두께 * 이상적으로는 backlash=0이어야 하지만, 열팽창이나 기어 간의 중 심 거리가 설계치보다 작아져 이가 꽉끼는 것을 방지하기 위하여 작은 양수 값을 가짐 13) pinion: 작은(쪽) 기어 - 89 - 14) 압력각: 기어 간의 중심거리, 기초원 크기 등의 함수이지만 일정 값 (예: 20° 등)으로 표준화 Worm & worm wheel(또는 gear) - worm: 수나사와 유사 - worm의 중수( ): 나선(또는 thread)의 수, =(1회전당의 lead)/(축 방향 피치)= - lead각 ( ) + helix각 ()= 90° - 90 - - 큰 감속비를 얻을 수 있으며, 역전 방지 기능 - 워 기어 속도 비= 휠의 회전 속도/워엄의 회전 속도 × = { }/{}= - 교보재의 경우: RH, single, 기어의 잇수=96 → 기어비=1/96 (감속) - 91 - Ch.11 Gear Train(열) 개념: 2개 이상의 축이 기어에 의하여 연동하는 경우 종류: 단순 기어 열 각 기어가 서로 다른 축에 탑재 복합 기어 열 2개 이상의 기어가 한 축에 탑재 reverted 기어 열 2개 이상의 기어축이 공통의 중심 거리 (복합 기어 열의 일종) 유성 기어 열 공전 및 자전을 하는 기어 포함 - 92 - 단순 기어 열: & , 여기서 =직경피치=1/모듈 → 각속도 비 (Train Value)=출력속도/입력속도 예) Fig. 11.3 TV= ⋯ → (동 방향) - 93 - 예) 2중 RH worm 포함 TV= ⋯ → (CCW) → 감속, 직교 * idler: 회전 방향만 바꾸는 역할 - 94 - 복합 기어 열 - 작은 기어들로 더 큰 감속비 얻음 예) Fig. 11.5 TV= ⋯ - 95 - 예) reverted 기어 열, 자동차의 3단 M/T 1단 (저속): 기어 6 → 기어 5에 engage ⋯ ≪ 2단 (중속): 기어 3 → 기어 4에 engage ⋯ 3단 (고속): 기어 1 → 기어 3에 engage TV=1 후진: 기어 6 → 기어 8에 engage ⋯ - 96 - 유성 기어 시스템 예) - 중첩법 (Tabular analysis): 1. 기어 A는 공전만 1회 (locked train) 2. arm을 고정하고 기어 B를 역 1회전→ 기어 A 자전 2회 steps locked train, 아암을 정방향으로 1회전 아암 고정, B를 역방향으로 1회전 총 회전수 아암 A B +1 +1 +1 0 + =+2 -1 +1 +3 0 ∴ 기어 A는 총 3회 회전 - sun gear, planet gear, arm - 97 - 예) 교보재의 경우, (pinion)= 12 & = 25 → TV=기어 A의 회전수/arm의 회전수= 예) 자동 변속기 중첩법에 의하여 표 작성, TV= - 98 - - 어느 기어를 고정시키느냐에 따라, TV가 변화 예) Fig. 11.9에서 5번 대신 4번 sun gear가 고정된 경우 locked train fixed arm total arm (3) +1 0 +1 2 +1 + 1+ 4 +1 -1 0 5 +1 + 1+ - 입력이 복수 개인 경우에도 중첩법에 의하여 TV를 구할 수 있음 → 교대로 나머지 입력을 고정된 것으로 간주 - 대수학적 방법: i) 평면상에서 arm의 속도에 관계없이 아래 식 성립 여기서 =아암에 대한 마지막 기어의 상대 각속도 =아암에 대한 첫 기어의 상대 각속도 = 마지막 기어의 절대 각속도 = 첫 기어의 절대 각속도, = 아암의 절대 각속도 예) Fig. 11.9에서 → & 또한 위식의 좌변은 3번 아암이 고정된 경우의 값 즉, 단순 기어열의 TV와 동일하므로 - 99 - ∴ ii) 유성 기어 접촉점에서의 선속도 이용 예) Fig. 11.9에서 → A점에 링크 2, 3의 선속 일치, 즉 ∴ 또한 B점에서 링크 4, 2의 선속도 일치, 즉 ∴ 유성 기어 시스템의 실례 - 차동 (기어) 장치: - 100 - i) 직선 주행 시, ii) 선회 시, (∵ 좌변은 2번 링크가 고정된 경우의 6번과 4번 링크 사이의 TV와 같음) → → 2번 링 기어의 각속도는 양쪽 바퀴 각속도의 평균값이 됨. 따라서 만일 빙판위에 한쪽 바퀴가 얹혀 그 바퀴의 각속도가 0이 되는 경우, 반대쪽 바퀴는 로 고속 회전하게 되어 차가 급격히 빙판 방향 쪽으로 회전하게 됨. - 101 - ...
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