MAT219-3 - LAPLACE DNM Lineer diferansiyel denklemlerin...

Info iconThis preview shows pages 1–4. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
D İ FERANS İ YEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN 29/11/2006 106 LAPLACE DÖNÜ Ş ÜMÜ Lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri için çok kullan ı lan yöntemlerden birisi integral dönü ş ümleridir ve bir integral dönü ş ümü = β α dt t f t s K s F ) ( ) , ( ) ( (1) formundad ı r. Burada verilen bir ‘f’ fonksiyonu ‘F’ fonksiyonuna dönü ş ür ve F fonksiyonuna f in fonksiyon dönü ş ümü denir. K(s,t) ye çekirdek denir. L(f(t))= = 0 ) ( ) ( dt t f e s F st ( 2 ) L(f(t)) veya F(s) e f fonksiyonunun Laplace dönü ş ümü denir. K(s,t)= e -st dir. Laplace dönü ş ümünün tan ı m ı ndan da görüldü ğ ü gibi bu dönü ş üm genelle ş tirilmi ş integral(improper) görünümündedir. Bu nedenle genelle ş tirilmi ş integral kavram ı n ı hat ı rlamak için bir örnek ve teorem verelim. Genelle ş tirilmi ş integral sonlu aral ı klar için integralin bir s ı n ı r ı olarak tan ı mlan ı r = A a A a dt t f dt t f ) ( lim ) ( A pozitif reel say ı E ğ er integral her A>a için a dan A ya var ise ve A →∞ limiti mevcut ise genelle ş tirilmi ş integral yak ı nsak , aksi takdirde ı raksakt ı r. Örnek: ? 0 = dt e ct t>0 A lim ) 1 ( 1 lim lim 0 0 = = cA A A ct A ct e c c e dt e c<0 için genelle ş tirilmi ş integral yak ı nsakt ı r. c>0 ve c=0 için ı raksakt ı r. Teorem 6.1.1 f fonksiyonu t a için parçal ı sürekli fonksiyon, M pozitif sabit bir say ı ve e ğ er | f(t) |≤ g(t) M dt t g ) ( yak ı nsak ise a dt t f ) ( de yak ı nsakt ı r.
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
D İ FERANS İ YEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN 29/11/2006 107 Di ğ er yandan t ≥Μ ve f(t) g(t) ≥0 olmak üzere e ğ er M dt t g ) ( ı raksak ise a dt t f ) ( de ı raksakt ı r. Yukar ı da (2) nolu denklemle verilen L(f(t)) veya F(s) Laplace dönü ş ümünde genelle ş tirilmi ş integral yak ı nsak oldu ğ unda tan ı mlanmaktad ı r. Teorem 6.1.2: 1) keyfi bir pozitif ‘A’ say ı s ı için 0 t A aral ı ğ ı nda f fonksiyonu parçal ı sürekli olsun 2) t ≥Μ için | f(t) |≤ K e at olsun Bu e ş itsizlikte K,M pozitif olmak üzere K,a,M reel say ı lard ı r. Bu ş artlar sa ğ lan ı yorsa L(f(t))= = 0 ) ( ) ( dt t f e s F st dönü ş ümü s>0 için vard ı r. Örnek 1: f(t)= 1, t 0 , L(1)=? Çözüm: L(1)= = 0 ) ( ) ( dt t f e s F st = 0 1 dt e st = s e st s s s e s e sA A A st A 1 1 lim lim 0 = + = 1/s s>0 Örnek 2: f(t)= e at , t 0 , L( e at )=? L( e at )= dt e dt e dt e e A t a s A t a s at st = = 0 ) ( 0 ) ( 0 lim = A t a s A e a s 0 ) ( 1 lim ) 1 ( 1 lim ) ( a s e a s A a s A = 1/s-a s>a
Background image of page 2
D İ FERANS İ YEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN 29/11/2006 108 Örnek 3: f(t)= Sin(at), t 0 , L( Sin(at) )=?
Background image of page 3

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
Image of page 4
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

This note was uploaded on 04/11/2011 for the course MECHANICAL MAT 219 taught by Professor Benjaminwalter during the Fall '10 term at Middle East Technical University.

Page1 / 12

MAT219-3 - LAPLACE DNM Lineer diferansiyel denklemlerin...

This preview shows document pages 1 - 4. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online