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Mecanica de Fluidos problemas resueltos

Mecanica de Fluidos problemas resueltos - Mecnica de...

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Mec´ anica de Fluidos - 2007 Problemas resueltos Cinem´ atica 1. Se tiene el siguiente campo de velocidades: v x = x x 2 + y 2 , v y = y x 2 + y 2 , v z = 0 a ) Encuentre las l´ ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ ıneas de humo. b ) Encuentre una expresi´ on para el campo Lagrangiano de velocidades (tome como referencia el tiempo t = 0). Si a t = 0 se tiene una mancha contaminante de la forma: C ( x, y, z ) = C 0 e - x 2 + y 2 σ 2 y se sabe que el contaminante es un is´ otopo radiactivo que decae seg´un la ley: C = C i e - t/λ , c ) ¿Cu´ al ser´ a la concentraci´ on de contaminante que medir´ ıa un sensor ubi- cado en el punto ( σ, 0 , 0) a tiempo t = 0? d ) Encuentre la tasa de cambio de la concentraci´ on que medir´ ıa el mismo sensor, en el mismo punto, en el mismo intante t = 0. Respuesta: a ) Como se trata de un campo estacionario, las l´ ıneas de corriente, las tra- yectorias y las l´ ıneas de humo ser´ an coincidentes. La velocidad en todo punto es paralela al vector posici´ on (proyectado sobre el plano x - y ), de manera que toda part´ ıcula del fluido se mueve siempre alej´ andose del eje z , describiendo rectas radiales. Para obtener una expresi´ on formal de la ecuaci´ on de estas l´ ıneas se puede partir de la ecuaci´ on de las l´ ıneas de corriente: dx ds = v x = x x 2 + y 2 , dy ds = v y = y x 2 + y 2 , dz ds = v z = 0 eliminando el par´ ametro s e integrando desde un punto en particular ( x 0 , y 0 , z 0 ) se tiene: dy dx = y x , y y 0 dy y = x x 0 dx x , log y y 0 = log x x 0 y y 0 = x x 0 , z = z 0 b ) Sabemos que el campo Lagrangiano de velocidades ( V ) evaluado en ( x, t ) debe ser igual al campo Euleriano ( v ) evaluado en (Φ( x, t ) , t ), donde Φ( x, t ) es la posici´ on, a tiempo t , de la part´ ıcula que en cierto tiempo
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de referencia estaba en la posici´ on x . Adem´ as, el campo Lagrangiano de velocidades se puede obtener de la funci´ on Φ( x, t ), tomando su derivada parcial respecto del tiempo: V ( x, t ) = v (Φ( x, t ) , t ) = Φ( x, t ) ∂t para nuestro caso particular, todas las l´ ıneas son radiales y equivalen- tes, en el sentido en que la velocidad cambia s´ olo con el radio, podemos simplificar el c´ alculo restringi´ endonos al eje x : Φ( x, t ) ∂t = V ( x, t ) = v (Φ( x, t ) , t ) = 1 Φ de donde, considerando que al tiempo de referencia t = 0, la part´ ıcula se encuentra en Φ 0 = Φ( x, 0) = x : Φ Φ 0 wdw = t 0 dt Φ 2 - Φ 2 0 = 2 t Φ( x, t ) = x 2 + 2 t derivando: V ( x, t ) = 1 x 2 + 2 t Si quisi´ eramos generalizar este resultado -obtenido para una part´ ıcula en el eje x - a todo el espacio, “ x ” debe ser interpretado como el radio, y “ V como la velocidad radial: V x = x x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 2 t , V y = y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 2 t , V z = 0 c ) Sustituendo en la expresi´ on de C ( x, y, z ), a t = 0: C ( σ, 0 , 0) = C 0 e - σ 2 2 = C 0 e d ) La ley de decaimiento radiactivo es v´ alida para cada punto material, de manera que derivando la expresi´ on C = C i e - t/λ se obtiene la derivada material de la concentraci´ on del contaminante. La tasa de variaci´ on medi- da por el sensor fijo al espacio representa la derivada parcial con respecto al tiempo del campo Euleriano de concentraciones. Usando la expresi´ on
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