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problemas mec fluidos - 1 Problemas de TPI 1 Mecnica de...

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1 F1 - Flujo de Couette laminar Sup°ngase un ±uido incompresible viscoso que se encuentra entre dos placas paralelas en reposo. El plujo se toma en la direcci°n x de modo que la presi°n sea p = p ( x ) pero no p 6 = p ( y ) . Se pide, en el rØgimen estacionario, el campo de velocidades y la velocidad media h v x i ¿CuÆl es la fuerza de fricci°n que actoea sobre las placas? Antes de comenzar, tengamos en cuenta que: 1. ° r ° ° v = 0 . 2. @ t = 0 . 3. ° g = ° 0 . La gravedad no es relevante en este problema. 4. p ( x ) = p 0 + °x . Supondremos conocidas las constantes ° y p 0 . 5. Por consideraciones de simetr°a, @ z = v z = 0 , de modo que, en principio ° v = v x ( x; y )^ { + v y ( x; y ) ^ | . 6. Como condici±n de contorno, debemos exigir que ° v ( y = 0) = ° v ( y = h ) = 0 . 7. Suponemos las placas inde²nidas en la direcci±n x , i.e. nos limitamos a considerar una regi±n lo su²cientemente alejada de los extremos, de modo que @ x = 0 y, por tanto: ° v = v x ( y )^ { + v y ( y ) ^ | . Ahora bien, volviendo a 1 , vemos que: ° r ° ° v = @v x @x + @v y @y = 0 ) @v y @y = 0 ) v y = cte; pero, segoen 4 , esa constante deberÆ valer cero. Con todo esto, vemos que el campo de velocidades se reduce a: ° v = v x ( y )^ { . Luis A. Correa Problemas de TPI: 1 - Mecánica de Fluidos
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2 Introduciendo esta forma expl°citamente en la ecuaci±n de Navier-Stokes, se obtiene: ± d 2 v x dy 2 = dp dx = ° , de donde: v x ( y ) = ° 2 ± y 2 + Ay + B , (1) y, aplicando las condiciones de contorno: v x ( y = 0) = B = 0 v x ( y = h ) = ° 2 ± h 2 + Ah = 0 ) A = ± °h 2 ± v x ( y ) = ° 2 ± ° y 2 ± hy ± : (2) La velocidad media, quedar°a entonces como: h v x i = ° 2 ±h Z h 0 dy ° y 2 ± hy ± = ± °h 2 12 ± . Como vemos, se opone en signo al gradiente de presiones y es directamente proporcional al cuadrado de la separaci±n entre las placas e inversamente proporcional a la viscosidad dinÆmica del ³uido. Si representÆsemos el per²l del campo de velocidades, ver°amos que forma una parÆbola cuyo mÆximo se alcanza en y = h= 2 y con valor nulo en los extremos ( y = 0 ; h ) . Resta por calcularse la fuerza ejercida por el ³uido sobre las placas. Para ello, necesitamos obtener el tensor de tensiones: T = 0 @ ± p + 2 ±@ x v x ± [ @ y v x + @ x v y ] ± [ @ z v x + @ x v z ] ± [ @ x v y + @ y v x ] ± p + 2 ±@ y v y ± [ @ z v y + @ y v z ] ± [ @ x v z + @ z v x ] ± [ @ y v z + @ z v y ] ± p + 2 ±@ z v z 1 A = = 0 @ ± p ( x ) ° 2 [2 y ± h ] 0 ° 2 [2 y ± h ] ± p ( x ) 0 0 0 ± p ( x ) 1 A . La fuerza sobre la placa inferior, quedarÆ como: ° F 1 = 0 @ ± p ( x ) ± °h 2 0 ± °h 2 ± p ( x ) 0 0 0 ± p ( x ) 1 A 0 @ 0 1 0 1 A = 0 @ ± °h 2 ± p ( x ) 0 1 A , mientras que sobre la placa superior: ° F 2 = 0 @ ± p ( x ) °h 2 0 °h 2 ± p ( x ) 0 0 0 ± p ( x ) 1 A 0 @ 0 ± 1 0 1 A = 0 @ ± °h 2 p ( x ) 0 1 A , Como vemos, son iguales en m±dulo y s±lo se diferencian en el signo de sus componentes verticales. La resultante neta segoen el eje x , tal y como era de esperar, tiene signo opuesto al gradiente de presiones.
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3 F2 - Flujo de Couette laminar (con placas en movimiento) Se pide considerar el mismo sistema que en el caso anterior, pero asumiendo que las placas estÆn en movimiento uniforme y con una velocidad relativa v 1 ¿C°mo var²a el campo de velocidades con el gradiente de la presi°n?
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