Dainez_Lista_4 - UDESC – Universidade do Estado de Santa...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: UDESC – Universidade do Estado de Santa Catarina Centro de Ciências Tecnológicas Mestrado em Engenharia Elétrica Aluno: Paulo Sérgio Dainez Lista de Exercicio no. 4 Problema B-3-4 Obtenha X(z): Método 1: s+3 ( s + 1)( s + 2) a b X (s) = + ( s + 1) ( s + 2) X (s) = Onde: ( s + 3)( s + 1) a= =2 ( s + 1)( s + 2) s =−1 ( s + 3)( s + 2) b= = −1 ( s + 1)( s + 2) s = −2 Logo: X (s) = 2 1 − ( s + 1) ( s + 2) 2 1 − −T −1 − 2T −1 (1 − e z ) (1 − e z ) Aplicando a Transformada Z: X ( z) = 2 − 2e − 2T z −1 − 1 + e −T z −1 X ( z) = (1 − e −T z −1 )(1 − e − 2T z −1 ) X ( z) = Método 2: 1 + (1 − e −T )e −T z −1 (1 − e −T z −1 )(1 − e − 2T z −1 ) s+3 ( s + 1)( s + 2) 2 1 X (s) = − ( s + 1) ( s + 2) X (s) = Paulo Sérgio Dainez 1 Lista n 3 - ASL Aplicando a transforma L inversa: x(t ) = 2e −t − e −2t e: x(kT ) = 2e − kT − e −2 kT 2e −kT − e −2 kT → k = 0,1,2,3,... x(kT ) = 0→k <0 Aplicando agora a definição de transformada Z: X ( z ) = ∑ x (kT ) z − k k =0 ∞ ∞ X ( z ) = ∑ (2e −kT − e −2 kT ) z −k k =0 X ( z ) = 2∑ e − kT z −k − ∑ e −2 kT z − k k =0 k =0 ∞ ∞ 2 1 X ( z) = − −T −1 − 2T −1 (1 − e z ) (1 − e z ) X ( z) = 2 − 2e − 2T z −1 − 1 + e −T z −1 (1 − e −T z −1 )(1 − e − 2T z −1 ) 1 + (1 − e −T )e −T z −1 (1 − e −T z −1 )(1 − e − 2T z −1 ) X ( z) = Problema B-3-5 Obtenha a X(z) atravez do método dos resíduos de: X (s) = Logo: K ( s + a)( s + b) K (s + a) K ( s + b) z z X ( z ) = lim + lim Ts Ts s → − a ( s + a )( s + b) ( z − e ) s →−b ( s + a )( s + b) ( z − e ) K z K z X ( z) = − − aT (b − a ) ( z − e ) (b − a ) ( z − e −bT ) K z z − − aT −bT (b − a ) ( z − e ) ( z − e ) X ( z) = Paulo Sérgio Dainez 2 Lista n 3 - ASL Problema B-3-6 Obtenha a X(z) de: X (s) = Mais: (1 − e −Ts ) 1 s (s + a) 2 (1 − e −Ts ) X (s) = G(s) s G(s) X ( z ) = (1 − z −1 ) Z s Logo: G(s) = 1 ( s + a) 2 G(s) 1 = s s(s + a) 2 a1 a2 G(s) b = + + 2 s (s + a) s ( s + a) Onde: (s + a) 2 −1 a1 = = 2 a s(s + a) s=− a d (s + a) 2 a2 = 2 ds s( s + a ) −1 =2 s =− a a s 1 b= =2 2 s ( s + a ) s =0 a Logo: G(s) −1 −1 1 = +2 +2 2 s a( s + a ) a ( s + a) a s − Te − aT −z z G ( s) Z = +2 +2 − aT 2 − aT a ( z − e ) a ( z − 1) s a( z − e ) E: Paulo Sérgio Dainez 3 Lista n 3 - ASL Então: − Te − aT −z z X ( z ) = (1 − z ) +2 +2 − aT 2 − aT a ( z − e ) a ( z − 1) a( z − e ) ( z − 1) − aTe − aT ( z − 1) − z ( z − e − aT )( z − 1) + z ( z − e − aT ) 2 X ( z) = z a 2 ( z − e − aT ) 2 ( z − 1) −1 X ( z) = − aTe − aT ( z − 1) − z ( z − e − aT )( z − 1) + z ( z − e − aT ) 2 a 2 z ( z − e − aT ) 2 (1 − e − aT ) z 2 − e − aT (aT + 1 + e − aT ) z + aTe − aT a 2 z ( z − e − aT ) 2 X ( z) = Problema B-3-7 Obtenha a reposta ao degrau de: y ( k + 1) + 0,5 y ( k ) = x (k ) Onde: y ( 0) = 0 Aplicando a tranformada Z: z.Y ( z ) − zy (0) + 0,5Y ( z ) = X ( z ) Logo: Y ( z )( z + 0,5) = X ( z ) Y ( z) 1 = X ( z ) ( z + 0,5) Y ( z) z −1 = X ( z ) (1 + 0,5 z −1 ) Para obter o resultado do matlab usamos o seguinte programa: num=[0 1]; den=[1 0.5]; x=[ones(1,21)]; k=0:20; y1=filter(num,den,x); Para compararmos o resultado: y2(1)=0; for i=1:20 y2(i+1)=-0.5*y2(i)+x(i); end Paulo Sérgio Dainez 4 Lista n 3 - ASL Por ultimo plotamos o resultado com o comando plot(k,y1,'+',k,y2,'o') 1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 16 1 8 2 0 Problema B-3-8 Obtenha a reposta ao degrau de: y ( k + 2) + y (k ) = x(k ) Onde: y (k ) = 0 → k < 0 K=-2 → y (0) = − y ( −2) + x ( −2) = 0 K=-1 → y (1) = − y ( −1) + x ( −1) = 0 Aplicando a tranformada Z: z 2 .Y ( z ) − z 2 y (0) − zy (1) + Y ( z ) = X ( z ) Logo: Y ( z )( z 2 + 1) = X ( z ) Paulo Sérgio Dainez 5 Lista n 3 - ASL Y ( z) 1 =2 X ( z ) ( z + 1) Y ( z) z −2 = X ( z ) (1 + z −2 ) Para obter o resultado do matlab usamos o seguinte programa: num=[0 0 1]; den=[1 0 1]; x=[ones(1,21)]; k=0:20; y1=filter(num,den,x); Para compararmos o resultado: y2(1)=0; y2(2)=0; for i=1:19 y2(i+2)=-1*y2(i)+x(i); end Por ultimo plotamos o resultado com o comando plot(k,y1,'+',k,y2,'o') 1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 16 1 8 2 0 Paulo Sérgio Dainez 6 Lista n 3 - ASL Problema B-3-9 Obtenha a transformada Z e y(k) quando o sistema abaixo é ligado em série: y ( k ) − ay (k − 1) = x(k ) Onde: y (k ) = 0 → k < 0 Y ( z ) − az −1Y ( z ) = X ( z ) Y ( z )(1 − az −1 ) = X ( z ) Y ( z) 1 = X ( z ) (1 − az −1 ) Aplicando a tranformada Z: Então: Y ( z) X ( z) G ( z ) = G1 ( z ) = G2 ( z ) G( z) = Para G1 ligado em série com G2 temos: x(k) G1(z) G2(z) y(k) x(k) GT(z) y(k) Logo: GT ( z ) = G1 ( z ).G2 ( z ) = GT ( z ) = Y ( z) X ( z) 1 (1 − az −1 ) 2 Y ( z) 1 = −1 X ( z ) (1 − 2az + a 2 z −2 ) Y ( z )(1 − 2az −1 + a 2 z − 2 ) = X ( z ) Y ( z ) − 2az −1Y ( z ) + a 2 z − 2Y ( z ) = X ( z ) Aplicando a transformada Z inversza: y ( k ) − 2ay (k − 1) + a 2 y (k − 2) = x(k ) Paulo Sérgio Dainez 7 Lista n 3 - ASL Problema B-3-10 Obtenha a transformada Z e y(k) de: y ( k ) − y ( k − 1) + 0,24 y (k − 2) = x(k ) + x(k − 1) Onde: y (k ) = 0 → k < 0 Y ( z ) − z −1Y ( z ) + 0,24 z −2Y ( z ) = X ( z ) + z −1 X ( z ) Y ( z )(1 − z −1 + 0,24 z −2 ) = X ( z )(1 + z −1 ) Y ( z) (1 + z −1 ) = X ( z ) (1 − z −1 + 0,24 z − 2 ) Y ( z) (1 + z −1 ) = X ( z ) (1 − 0,4 z −1 )(1 − 0,6 z −1 ) Aplicando a tranformada Z: Resposta para o degrau unitário: X ( z) = Logo: 1 (1 − z −1 ) (1 + z −1 ) Y ( z) = (1 − 0,4 z −1 )(1 − 0,6 z −1 )(1 − z −1 ) Y ( z) = (z3 + z 2 ) ( z − 0,4)( z − 0,6)( z − 1) Y ( z) ( z 2 + z) = z ( z − 0,4)( z − 0,6)( z − 1) Y ( z) a b c = + + z ( z − 0,4) ( z − 0,6) ( z − 1) Onde: ( z 2 + z )( z − 0,4) a= = 4,67 ( z − 0,4)( z − 0,6)( z − 1) s =0, 4 ( z 2 + z )( z − 0,6) b= = −12 ( z − 0,4)( z − 0,6)( z − 1) s =0, 6 ( z 2 + z )( z − 1) c= = 8,33 ( z − 0,4)( z − 0,6)( z − 1) s =1 Paulo Sérgio Dainez 8 Lista n 3 - ASL Então: Y ( z) 4,67 12 8,33 = − + z ( z − 0,4) ( z − 0,6) ( z − 1) 4,67 z 12 z 8,33 z Y ( z) = − + ( z − 0,4) ( z − 0,6) ( z − 1) Aplicando a transformada Z inversa: y ( k ) = 4,67.0,4 k − 12.0,6 k + 8,33.u (k ) Para obter o resultado do matlab usamos o seguinte programa: num=[0 0 1]; den=[1 0 1]; x=[ones(1,21)]; k=0:20; y1=filter(num,den,x); Ou podemos resolver recursivamente com o programa abaixo: y2(1)=1; y2(2)=3; for i=1:19 y2(i+2)=y2(i+1)-0.24*y2(i)+x(i+2)+x(i+1); end Para compararmos com o nosso resultado: for i=1:21 y3(i)=(4.76*0.4^(i-1))-(12*0.6^(i-1))+8.33; end Por ultimo plotamos o resultado com o comando plot(k,y1,'+',k,y2,'o',k,y3,'x') Paulo Sérgio Dainez 9 Lista n 3 - ASL 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 16 1 8 2 0 Paulo Sérgio Dainez 10 Lista n 3 - ASL Problema B-3-11 Obtenha a reposta ao degrau de: G( z) = E: 1 − 0.5 z −1 (1 − 0,3 z −1 )(1 + 0,7 z −1 ) Y ( z) = G( z) X ( z) 1 (1 − z −1 ) Onde: X (Z ) = Então: Y ( z) = Y ( z) = 1 − 0.5 z −1 (1 − 0,3z −1 )(1 + 0,7 z −1 )(1 − z −1 ) z 3 − 0.5 z 2 ( z − 0,3)( z + 0,7)( z − 1) Y ( z) z 2 − 0.5 z = z ( z − 0,3)( z + 0,7)( z − 1) Y ( z) a b c = + + z ( z − 0,3) ( z + 0,7) ( z − 1) Onde: ( z 2 − 0.5 z )( z − 0,3) a= = 0,0857 ( z − 0,3)( z + 0,7)( z − 1) z =0,3 ( z 2 − 0.5 z )( z + 0,7) b= = 0,494 ( z − 0,3)( z + 0,7)( z − 1) z =−0,7 ( z 2 − 0.5 z )( z − 1) c= = 0,42 ( z − 0,3)( z + 0,7)( z − 1) z =1 Logo: Y ( z ) 0,0857 0,494 0,42 = + + z ( z − 0,3) ( z + 0,7) ( z − 1) 0,0857 z 0,494 z 0,42 z Y ( z) = + + ( z − 0,3) ( z + 0,7) ( z − 1) Aplicando a Transformada Z inversa: y ( k ) = 0,0875.0,3 k + 0,494.(−0,7) k + 0,42.u (k ) Paulo Sérgio Dainez 11 Lista n 3 - ASL Para obter o resultado do matlab usamos o seguinte programa: num=[1 -0.5 0]; den=[1 0.4 -0.21]; x=[ones(1,21)]; k=0:20; y1=filter(num,den,x); Para compararmos com o nosso resultado: for i=1:21 y2(i)=(0.0875*0.3^(i-1))+(0.494*(-0.7)^(i-1))+0.42; end Por ultimo plotamos o resultado com o comando plot(k,y1,'+',k,y2,'o') 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Paulo Sérgio Dainez 12 Lista n 3 - ASL Problema B-3-12 Obtenha a y(kT) para o sistema x(t) igual ao degrau unitário (x*(t) = x(kT)): Y ( s) 1 = * X ( s ) ( s + 1)( s + 2) Temos que: Y ( s ) = G ( s). X * ( s ) Y * ( s ) = G ( s). X * ( s ) = G * ( s ). X * ( s ) Onde: [ * Y * (s) = Y ( z ) X * (s) = X ( z) G * (s) = G( z) Logo: X ( z) = e: 1 z = −1 (1 − z ) ( z − 1) → Degrau unitário 1 G( z) = Z ( s + 1)( s + 2) ( s + 1) ( s + 2) z z G ( z ) = lim + lim Ts Ts s → −1 ( s + 1)( s + 2) ( z − e ) s →−2 ( s + 1)( s + 2) ( z − e ) 1 z 1 z + −T (2 − 1) ( z − e ) (1 − 2) ( z − e −2T ) z z G( z) = − −T ( z − e ) ( z − e − 2T ) G( z) = G( z) = G( z) = Para T = 0.1: z ( z − e − 2T ) − z ( z − e −T ) ( z − e −T )( z − e −2T ) z (e −T − e −2T ) ( z − e −T )( z − e −2T ) 0,086 z ( z − 0,905)( z − 0,819) G( z) = Então Y ( z ) = G ( z ). X ( z ) 0,086 z z Y ( z) = ( z − 0,905)( z − 0,819) ( z − 1) Paulo Sérgio Dainez 13 Lista n 3 - ASL Y ( z) 0,086 z = z ( z − 0,905)( z − 0,819)( z − 1) Y ( z) a b c = + + z ( z − 0,905) ( z − 0,819) ( z − 1) Onde: 0,086 z ( z − 0,905) a= = −9,525 ( z − 0,905)( z − 0,819)( z − 1) s =0,905 0,086 z ( z − 0,819) b= = 4,525 ( z − 0,905)( z − 0,819)( z − 1) s =0,819 0,086 z ( z − 1) c= =5 ( z − 0,905)( z − 0,819)( z − 1) s =1 Logo: Y ( z) − 9,525 4,525 5 = + + −T − 2T z ( z − e ) ( z − e ) ( z − 1) − 9,525 z 4,525 z 5z Y ( z) = + + ( z − 0,905) ( z − 0,819) ( z − 1) Aplicando a Transformada Z inversa: y ( k .0,1) = −9,525.0,905 k + 4,525.0,819 k + 5.u (k ) Problema B-3-15 Obter a função de Transferência do Diagrama abaixo: Paulo Sérgio Dainez 14 Lista n 3 - ASL E ( s ) = R( s ) − H 2 ( s ).M * ( s ) E * ( s) = R * ( s) − H 2 ( s ).M * ( s) e: * M ( s ) = H 1 ( s ).G ( s).E * ( s) M * ( s ) = H 1G * ( s ).E * ( s ) Logo: E * ( s) = R * ( s) − H 2 ( s ).H 1G * ( s ).E * ( s ) E * ( s) + H 2 ( s ).H 1G * ( s ).E * ( s ) = R * ( s ) E * ( s) 1 + H 2 ( s ).H 1G * ( s ) = R * ( s ) E * ( s) = Mais: * * [ * R * (s) 1 + H 2 ( s ).H 1G * ( s ) * C ( s ) = G ( s).E * ( s) C * ( s ) = G * ( s ).E * ( s ) C (s) = * G * ( s).R * ( s ) 1 + H 2 ( s).H 1G * ( s) * C * (s) G * (s) = R * ( s ) 1 + H 2 * ( s).H 1G * ( s) A função de transferência é: C( z) G( z) = R ( z ) 1 + H 2 ( z ).H 1G ( z ) Problema B-3-16 Obter a função de Transferência do Diagrama abaixo: E(s) E*(s) Paulo Sérgio Dainez 15 Lista n 3 - ASL Calculo da função de transferência: E ( s ) = R( s ) − Gh 0 ( s ).G P ( s).E * ( s) E * ( s) = R * ( s) − Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) E * ( s) + Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) = R * ( s ) E * ( s) 1 + Gh 0 G P ( s ) = R * ( s ) E * ( s) = Mais: * * [ * R ( s) * 1 + Gh 0 G P ( s) * C ( s ) = Gh 0 ( s ).G P ( s).E * ( s) C * ( s) = Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) C * ( s) = Gh 0 G P ( s ).R * ( s ) 1 + Gh 0 G P ( s) * * * * Gh 0 G P ( s) C * ( s) = * R ( s) 1 + Gh 0 G P * ( s ) A função de transferência é: Gh 0 G P ( z ) C( z) = R( z ) 1 + Gh 0 G P ( z ) Onde: GP (s) = Gh 0 ( s) = K (s + a) 1 − e −Ts s 1 − e −Ts K Gh 0 ( s).G P ( s) = s (s + a) Mais: 1 − e −Ts K Z { Gh 0 ( s).G P ( s )} = Z ( s + a) s K Gh 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ).Z s( s + a) Calculo da transformada Z: K b c = + s.( s + a ) ( s + a ) s Paulo Sérgio Dainez 16 Lista n 3 - ASL Onde: K (s + a) K b= =− a s.( s + a) s =− a Ks K c= =a s.( s + a ) s =0 Logo: KK K Z − = s.( s + a ) a.s a.( s + a ) K K 1 1 Z − = −1 − aT −1 s.( s + a ) a (1 − z ) (1 − e z ) Então: K 1 1 − −1 − aT −1 a (1 − z ) (1 − e z ) K (1 − z −1 ) Gh 0 G P ( z ) = 1 − a (1 − e − aT z −1 ) Gh 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ). 1 − e − aT z −1 − 1 + z −1 − aT −1 (1 − e z ) K z −1 (1 − e − aT ) Gh 0 G P ( z ) = a (1 − e − aT z −1 ) Gh 0 G P ( z ) = K a E: Gh 0 GP ( z) C ( z) = R( z) 1 + Gh 0 GP ( z) K z − 1 (1 − e − aT ) a (1 − e − aT z − 1 ) C ( z) = R( z) K z − 1 (1 − e − aT ) 1+ a (1 − e − aT z − 1 ) C ( z) K.z − 1 (1 − e − aT ) = R( z) a(1 − e − aT z − 1 ) + K.z − 1 (1 − e − C ( z) K.z − 1 (1 − e − aT ) = R( z) a − z − 1 (ae − aT + K − K.e − aT aT ) )) C ( z) K.z − 1 (1 − e − aT ) = R( z) a − z − 1 (e − aT (a − K ) + K )) Paulo Sérgio Dainez 17 Lista n 3 - ASL Problema B-3-17 Obter a função de Transferência continua e discreta do Diagrama abaixo: E*(s) M*(s) M ( s ) = G1 ( s).E * ( s ) − G2 ( s ).M * ( s ) M * ( s ) = G1 ( s ).E * ( s) − G2 ( s).M * ( s) E: * * E ( s ) = R( s ) − H ( s).G 2 ( s ).M * ( s ) E * ( s) = R * ( s) − HG 2 ( s).M * ( s ) Logo: * M * ( s ) = G1 ( s ).( R * ( s) − HG 2 ( s).M * ( s )) − G2 ( s ).M * ( s) M * ( s ) = G1 ( s ).R * ( s ) − G1 ( s).HG 2 ( s).M * ( s) − G2 ( s).M * ( s ) M * ( s ) + G2 ( s ).M * ( s ) + G1 ( s).HG 2 ( s).M * ( s ) = G1 ( s).R * ( s) M * ( s )(1 + G2 ( s) + G1 ( s ).HG 2 ( s )) = G1 ( s ).R * ( s ) M (s) = * * * * * * * * * * * * * * * * G1 ( s ).R * ( s ) 1 + G2 ( s ) + G1 ( s).HG 2 ( s) * * * * E: C ( s ) =G 2 ( s).M * ( s ) C * ( s) =G 2 ( s).M * ( s ) C * ( s) = Então: * G 2 ( s ).G1 ( s).R * ( s) 1 + G2 ( s ) + G1 ( s).HG 2 ( s ) * * * * * * * G 2 ( s).G1 ( s ) C * ( s) = * * R ( s) 1 + G2 ( s ) + G1* ( s ).HG 2 * ( s ) Ou: G 2 ( z ).G1 ( z ) C( z) = R ( z ) 1 + G2 ( z ) + G1 ( z ).HG 2 ( z ) Paulo Sérgio Dainez 18 Lista n 3 - ASL Problema B-3-18 E(s) E*(s) Calculo da saída C(z): E ( s ) = R( s ) − Gh 0 ( s ).G P ( s).E * ( s) E * ( s) = R * ( s) − Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) E * ( s) + Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) = R * ( s ) E * ( s) 1 + Gh 0 G P ( s ) = R * ( s ) E * ( s) = Mais: * * [ * R * ( s) * 1 + Gh 0 G P ( s) C ( s ) = Gh 0 ( s ).G P ( s).E * ( s) C * ( s) = Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) C ( s) = * * Gh 0 G P ( s ).R * ( s ) 1 + Gh 0 G P ( s) * * A saída é: C( z) = Onde: Gh 0 G P ( z ).R ( z ) 1 + Gh 0 G P ( z ) K s 1 − e −Ts Gh 0 ( s) = s 1 − e −Ts K Gh 0 ( s).G P ( s ) = s s GP (s) = Paulo Sérgio Dainez 19 Lista n 3 - ASL Mais: 1 − e −Ts K Z { Gh 0 ( s).G P ( s )} = Z s s K Gh 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ).Z 2 s Da tabela da transformada Z temos: −1 K K .T .z Z 2 = −1 2 s (1 − z ) Então: Gh 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ). Gh 0 G P ( z ) = E: K .T .z −1 (1 − z −1 ) 2 K .T .z −1 (1 − z −1 ) → Degrau unitário R( z ) = Logo: 1 (1 − z −1 ) K .T .z −1 (1 − z −1 ) 1 C( z) = −1 K .T .z (1 − z −1 ) 1+ (1 − z −1 ) C( z) = C( z) = Para T=1 temos: K .T .z −1 (1 − z −1 + K .T .z −1 )(1 − z −1 ) K .T .z −1 (1 + z −1 ( K .T − 1))(1 − z −1 ) K .z −1 (1 + z −1 ( K − 1))(1 − z −1 ) K .z C( z) = ( z + ( K − 1))( z − 1) C( z) K = z ( z + ( K − 1))( z − 1) C( z) a b = + z ( z + ( K − 1)) ( z − 1) C( z) = Paulo Sérgio Dainez 20 Lista n 3 - ASL Onde: K .( z + ( K − 1)) K a= = = −1 ( z + ( K − 1))( z − 1) z =− ( k −1) − K + 1 − 1 K .( z − 1) K b= = 1+ K −1 = 1 ( z + ( K − 1))( z − 1) z =1 Então: C( z) −1 1 = + z ( z + ( K − 1)) ( z − 1) −z z C( z) = + ( z + ( K − 1)) ( z − 1) Aplicando a Transformada z inversa: c(i ) = u (i ) − (1 − K ) i Problema B-3-19 E(s) E*(s) Calculo da saída C(z): E ( s ) = R( s ) − Gh 0 ( s ).G P ( s).E * ( s) E * ( s) = R * ( s) − Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) E * ( s) + Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) = R * ( s ) E * ( s) 1 + Gh 0 G P ( s ) = R * ( s ) E * ( s) = Mais: * * [ * R * ( s) * 1 + Gh 0 G P ( s) C ( s ) = Gh 0 ( s ).G P ( s).E * ( s) C * ( s) = Gh 0 G P ( s ).E * ( s ) C ( s) = * * Gh 0 G P ( s ).R * ( s ) 1 + Gh 0 G P ( s) 21 Lista n 3 - ASL * * Paulo Sérgio Dainez A saída é: C( z) = Onde: Gh 0 G P ( z ).R ( z ) 1 + Gh 0 G P ( z ) 1 s( s + 1) GP (s) = Gh 0 ( s) = 1 − e −Ts s 1 − e −Ts 1 Gh 0 ( s).G P ( s ) = s s( s + 1) Mais: 1 − e −Ts 1 Z { Gh 0 ( s).G P ( s )} = Z s ( s + 1) s 1 Gh 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ).Z 2 s ( s + 1) Calculo da transformada Z temos: a1 a 2 1 b Z 2 + = Z 2 + s ( s + 1) s s ( s + 1) Onde: 1.s 2 a1 = 2 =1 s ( s + 1) s =0 d 1.s 2 = −1 a2 = 2 ds s ( s + 1) s =0 1.( s + 1) b= 2 =1 s ( s + 1) s =−1 Logo: 1 11 1 = 2− + s ( s + 1) s ( s + 1) s 2 Então aplicando a transformada Z: T .z −1 1 1 Gh 0 G P ( z ) = (1 − z ). (1 − z −1 ) 2 − (1 − z −1 ) + (1 − e −T z −1 ) −T −1 −1 −1 −T −1 (1 − e z ).T .z − (1 − z )(1 − e z ) + (1 − z −1 ) 2 Gh 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ). (1 − z −1 ) 2 (1 − e −T z −1 ) −1 Paulo Sérgio Dainez 22 Lista n 3 - ASL Gh 0 G P ( z ) = Gh 0 G P ( z ) = (1 − e −T z −1 ).T .z −1 − (1 − z −1 ).(1 − e −T z −1 ) + (1 − z −1 ) 2 (1 − z −1 )(1 − e −T z −1 ) (T − 1 + e −T ).z −1 + (1 − T .e −T − e −T ).z −2 (1 − z −1 )(1 − e −T z −1 ) (T − 1 + e −T ).z + (1 − T .e −T − e −T ) Gh 0 G P ( z ) = ( z − 1)( z − e −T ) E: Logo: R( z ) = 1 → Impulso unitário (T − 1 + e −T ).z + (1 − T .e −T − e −T ) ( z − 1)( z − e −T ) C( z) = (T − 1 + e −T ).z + (1 − T .e −T − e −T ) 1+ ( z − 1)( z − e −T ) C( z) = C( z) = Para T=1 temos: (T − 1 + e −T ).z + (1 − T .e −T − e −T ) ( z − 1)( z − e −T ) + (T − 1 + e −T ).z + (1 − T .e −T − e −T ) (T − 1 + e −T ).z + (1 − T .e −T − e −T ) z 2 + (T − 2).z + 1 − T .e −T e −1 z + 1 − 2.e −1 ( z 2 − 1.z + 1 − e −1 ) 0,368.z + 0,264 C( z) = 2 ( z − z + 0,632) 0,368.z + 0,264 C( z) = 2 ( z − z + 0,632) C( z) = Mais: E: Onde: z= = b = [ ] z= = C( z) = z C( z) = a =[ Então: Aplicando a Transformada z inversa: c (i ) = Paulo Sérgio Dainez 23 Lista n 3 - ASL Problema B-3-20 C*(s) Calculo da saída C(z): C ( s ) = G ( s )( R ( s) − Gh 0 ( s).C * ( s )) C ( s ) = G ( s ) R ( s ) − Gh 0 ( s )G ( s ).C * ( s) C * ( s) = GR * ( s) − Gh 0 G * ( s ).C * ( s) C * ( s) + Gh 0 G * ( s ).C * ( s) = GR * ( s) C * ( s) 1 + Gh 0 G * ( s ) = GR * ( s ) C * ( s) = A saída é: [ GR * ( s ) 1 + Gh 0 G * ( s) C( z) = Onde: GR( z ) 1 + Gh 0 G ( z ) K ( s + 1) 1 − e −Ts s G(s) = Gh 0 ( s) = R( s) = 1 s G ( s ) R( s) = 1K s ( s + 1) 24 Lista n 3 - ASL Paulo Sérgio Dainez Gh 0 ( s).G ( s ) = Mais: 1 − e −Ts K s ( s + 1) 1 K Z { G ( s ).R ( s )} = Z s ( s + 1) 1 K GR( z ) = Z s ( s + 1) 1 − e −Ts K Z { Gh 0 ( s).G ( s )} = Z s ( s + 1) K Gh 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ).Z s( s + 1) Calculo da transformada Z temos: Onde: 1 K a b Z = Z + s ( s + 1) s ( s + 1) K .s a= =K s( s + 1) s = 0 K .( s + 1) b= = −K s( s + 1) s = −1 Logo: K K K =− s ( s + 1) s ( s + 1) Então aplicando a transformada Z: K K GR( z ) = Z − s ( s + 1) K K GR( z ) = − −1 (1 − z ) (1 − e −T z −1 ) GR( z ) = K . GR( z ) = K . GR( z ) = K . (1 − e −T z −1 ) − (1 − z −1 ) (1 − z −1 )(1 − e −T z −1 ) (1 − e −T ) z −1 (1 − z −1 )(1 − e −T z −1 ) (1 − e −T ) z ( z − 1)( z − e −T ) Paulo Sérgio Dainez 25 Lista n 3 - ASL E: K K G h 0 G ( z ) = (1 − z −1 ).Z − ( s +1) s K K G h 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ) − (1 − z −1 ) (1 − e −T z −1 ) −T −1 (1 − e ) z G h 0 G P ( z ) = (1 − z −1 ).K . (1 − z −1 )(1 − e −T z −1 ) (1 − e −T ) z −1 Gh 0 GP ( z ) = K . (1 − e −T z −1 ) Gh 0 GP ( z ) = K . Logo: (1 − e −T ) ( z − e −T ) C( z) = GR( z ) 1 + Gh 0 G ( z ) K. (1 − e −T ) z ( z − 1)( z − e −T ) C( z) = (1 − e −T ) 1 + K. ( z − e −T ) K .(1 − e −T ) z ( z − 1)( z − e −T ) C( z) = ( z − e −T ) + K .(1 − e −T ) ( z − e −T ) C( z) = C( z) = K .(1 − e −T ) z ( z − 1)(( z − e −T ) + K .(1 − e −T )) z 2 + ( K − K .e −T K .(1 − e −T ) z − e −T − 1) z + e −T + K .e −T − K Para K = 1 e T = 0,2: (1 − e −0, 2 ) z z 2 + 2.e −0, 2 − 1 0,181z C( z) = 2 z + 0,637 0,181z C( z) = ( z − 0,798)( z + 0,798) C( z) 0,181 = z ( z − 0,798)( z + 0,798) C( z) = Paulo Sérgio Dainez 26 Lista n 3 - ASL C( z) a b = + z ( z − 0,798) ( z + 0,798) Onde: 0,181.( z − 0,798) a= = 0,1134 ( z − 0,798)( z + 0,798) z =0,798 0,181.( z + 0,798) b= = −0,1134 ( z − 0,798)( z + 0,798) z = −0,798 Então: C( z) 0,1134 0,1134 = − z ( z − 0,798) ( z + 0,798) 0,1134 z 0,1134 z C( z) = − ( z − 0,798) ( z + 0,798) Aplicando a Transformada z inversa: c( k ) = 0,1134.[0,798 k − (−0,798) k ] Paulo Sérgio Dainez 27 Lista n 3 - ASL ...
View Full Document

This note was uploaded on 04/16/2011 for the course CS 100 taught by Professor A.lritter during the Spring '11 term at Universidade Federal de Minas Gerais.

Ask a homework question - tutors are online