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EEE 582 HW # 5 SOLUTIONS Problem 9.1 The controllability matrix is W c = £ BA 2 B ¤ = 2 4 1 ® +2 2 ® +2 11 1 10 0 3 5 For controllability we need that det( W c ) 6 = 0. But det( W c )= ¡ ® , hence the system is controllable for all ® 6 =0. The observability matrix is W o = 2 4 C CA 2 3 5 = 2 6 6 6 6 6 6 4 010 021 0 ® 0 020 0 ® 0 3 7 7 7 7 7 7 5 notice that rank( W o )=2 < 3 for all ® 2 IR , hence the system is not observable for any ® Problem 9.4 W ( t;t f Z t f t ©( t;¿ ) B ( ¿ ) B > ( ¿ > ( ) d¿ W ( t f ;t f )=0 d dt W ( f ¡ Z t t f μ d dt ©( ) B ( ¿ ) B > ( ¿ > ( ) d¿ ¡ Z t t f ©( ) B ( ¿ ) B > ( ¿ ) μ d dt © > ( ) d¿ ¡ B ( t ) B > ( t ) d dt W ( f A ( t ) W ( f )+ W ( f ) A > ( t ) ¡ B ( t ) B > ( t ) Using _ P ¡ 1 ( t ¡ P ¡ 1 ( t )) _ P ( t ) P ¡ 1 ( t ), we can write d dt W ¡ 1 ( f ¡ W ¡ 1 ( f ) A ( t ) ¡ A > ( t ) W ¡ 1 ( f W ¡ 1 ( f ) B ( t ) B > ( t ) W ¡ 1 ( f ) W ( t o f Z t f t 0 ©( t 0 ;¿ ) B ( ¿ ) B > ( ¿ > ( t o ) d¿ Then, for t 0 <t<t f W ( t o f Z t t 0 ©( t 0 ) B ( ¿ ) B > ( ¿ ) d¿ + Z t f t ©( t 0 ) B ( ¿ ) B > ( ¿ ) d¿ W ( t o f W ( t 0 )+©( t 0 ) W ( f > ( t 0 ) Problem 9.7 ( ) )[ A;B ] controllable , W c A = R t f t 0 © A ( ) BB > © > A ( ) d¿ > 0, but © A ( e A ( t ¡ ¿ ) .S i n c e( A )( ¯I ( )( A ) ) © ( A ¡ ) ( e ( A ¡ )( t ¡ t 0 ) then W c ( A ¡ ) = Z t f t 0 e ( A ¡ )( t ¡ t 0 ) > e ( A > ¡ )( t ¡ t 0 ) W c ( A ¡ ¯I ) = Z t f t 0 e ¡ 2 ¯ ( t ¡ ¿ ) e A ( t ¡ ¿ ) > e A > ( t ¡ ¿ ) d¿ 1
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The function e ¡ 2 ¯ ( t ¡ ¿ ) is bounded above and below for any ¿ 2 [ t 0 ;t f ]by0 · e ¡ 2 ¯ ( t ¡ ¿ ) · ±< 1 ; then 0 <°W c A · W c ( A ¡ ¯I ) · ±W c A < 1 so W c ( A ¡ ¯I ) > 0 , [( A ¡ ) ;B ] controllable.
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