Metric Spaces Problem Sheets Solutions

Metric Spaces Problem Sheets Solutions - Å ÌÊÁ ½º µ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Å ÌÊÁ ½º µ µ ÆÓ ½º½´ µ ׸ Ø × Ø ½º½´ µ Ð× × ×Ø Ý ËÈ Ð× Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ ÈÊÇ Ä Å ËÀ Ù× ´´¼ ½µ ´½ ½µµ ÓÒ ¼ Ì ½¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× Ù×Ù Ð Ñ ØÖ Ð× Ù× Ù× Ê¾ º µ ÆÓ ½º½´ µ µ Ì ´½ ¾µ ½¸ ½º½´ µ ½·½ ÛØ ¾ ÓØ Ð× ´¾ ¼µ Ù× º ´¾ ½µ ½ ´½ ¾µ¸ Ò ´¾ ½µ · ´½ ¼µ ÖØ× Ê Ð Ñ ØÖ ×Ø ØÛÓ ÙÒ Ø ÓÒ× ´ÄÓÒ ÓÒ ¼ ÓÙÖÒ Ý× ´Þ½ ØÓ Ò Ò ÖÑ Ò Ñ ½µº Ö Ú ÓÒÐÝ ØÖ Ò Ü ÓÑ ØÓ × ½º½´ µº Á Þ¾ Þ¾ ØÓ Þ¿ µ ÄÓÒ ÓÒ Ø ´Þ½ Á Ò×Ø Þ¿ µ Þ¿ ×Ú Þ½ ´Þ½ · Þ¿ Þ½ · Þ¾ Ò · Þ¾ Þ¾ Þ¾ Þ¾ Þ¿ · Þ¿ Þ¾ ½ Þ¾ ½ ´Þ½ Þ¾ µ · ´Þ¾ Þ¿ µ Þ¿ ½ Þ¾ ØÓ ÖÑ Ò ÑØ Þ¾ µ · ´Þ¾ Þ¿ µ Þ½ Þ½ Þ½ Þ½ · · · · · · · · ·½ Þ¾ Þ¿ Ø Þ¿ µ ¾º Ì ×Ø Ò ÓØ × × ÐÓÓ Ò Ð Ø Ó×Ø Ó ÓÒ ÖÓÑ Ü ØÓ Ý ÔÖ × ÚÒ Ý º Ô ØÙÖ × × ÓÙÐ k=1 k=2 k=3 ¿º Ì ×ÖØ Ñ ØÖ ÓÒ ´Ñ ´Ñ × Ò ÙÐØÖ Ñ ØÖ º Ì ÙÐ k large Ò Ñ ØÖ Ò¾ × ÒÓغ ÁÒ Ø Ò ¾ ¾¹ ×Ó ¾ ·½ Ñ Ö · Ö Ò ×Ó × ¸ ×ÙÔÔÓ× ½ Òµ Òµ ½ ·½ ¸ ÑÜ ´Ñ ÓÒØÖ Öµ ´Ö Òµ ºÌ Ñ Ö Ö Ò Ø ÓÒº ʽ ¾ ¼ ´Øµ Ø ÕÊ ¾ ½ ´Øµ¾ Ø ¼ º · ¼ ÕÊ ½ ¼ ·µ × ÒÓØ Ø ´Øµ¾ Þ ÖÓ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ù× × ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ ÕÊ ½ ¼´ ´Øµµ¾ Ø Øµº Ò ÐÐÝ ¾ ¾ Ù Ý¹Ë ½ ¼ ´ ¾Ø ¾· ¾·¾ ¾· ¾ µ¾ º ¾· ¾·¾ × ¾ ¾ Ý º ´Ý½ ´Ý½ ºÌ Ø Ò Û ÖÞ ÙØ Ø × × ÕÙ Ð ØÓ ´ ÓÖ Ý Ý½ ݾ Ý¿ ¾ Û Ú ´Ý Ý µ ´Ý Ý µ ¼ ݽ ݾ Ø Ò Ý¾ µ ¼ ´Ý½ ݾ µ ´Ý½ ݾ µ ´Ý¾ ݽ µ ´Ý¾ ݽ µ Ò ´Ý½ ݾ µ · ݾ µ · ´Ý¾ Ý¿µ ´Ý½ Ý¿ µ ´Ý½ Ý¿ µº × Ö Ø Ñ ØÖ ÓÒ Î Ó × ÒÓØ ÓÑ ÖÓÑ ÒÓÖÑ ´ÙÒÐ ×× Î × ØÖ Ú ¼ ܾΠ½ ´¼ ¾Üµ ¾Ü ¾Ü ¾ ´¼ ܵ ¾ × ×ÙÖ º ´Ý½ ݾµ ´Ý¾ Ý¿ µ Ù× Ðµ¸ Û Ã˸ ¾ »½¼»¼½ Å ÌÊÁ ½º µ ÍÒ ÓÙÒ ÐÐ Ó Ö ×Ø ×× ¸ ËÈ ºº Ù× ½ Ó ´× ÒØÖ ¸ ¸ ÙØ Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ ÈÊÇ Ä Å ËÀ Ù× ÒØÖ ÒØÖ ÐÐ Ø Ì ¾¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× Å ¾Ê Ø ¼º ´½ ¼µ Ò Ö Ø Ò ´ Å ¾º ¿ ŵ ¾ Šź µÌ µ µÌ ÐÐ Ò ÓÙÒ Ö Ù× ½µ Ô ×Ø Ò Ö × ÙØ Ø × ÒÓØ Û ÓÐ Ó ×Ð Ò ´ ¸ ÐÐ Ò ÐÐ Ò ×Ò Ø × ½· × Ø Ö ×º × Ò Ð ÔÓ ÒØ ´Ø µÌ ×× ÓÙÒ Ù× ½º Ù× × Ðк Ì ½µ ÓÖ Ø Ñ Ø ÖÓ ÖÓ Ø ÙØ ÒÓØ ÓÖ ¯ µÌ ¾º Úº ×× ´ µ ÐÐ ½ µ µ ½ ´Ú µ ¿ Ú · ´½ ¯µÚ Ú Ø× µ ½¸ µ ½´ ÖÐÝ ¾ ×Ó ¼µ Û Û Û Ú ¯ ÐÐ Ø ÑÙ×Ø ½ ÓÖ Ò×Ø Ò ´ µ ½¿ µº ½ ×ØÑ ÙØ Ø ÑÜ Ú Ò Ø ÓÙ ¿º ËÙÔÔÓ× ÈÙØ ´ Æ Ë ½ Ò Ò ´ ½ Ò Ø ×ÙÔ × ÒÓØ ¾ Ö½ Ö¾ Ñ ØØ ¼µº Ò µ ´ µ ¼¸ ÛØ ÓÙÒ ´ º ÈÙØ Ò ÓÓ× Ü¼ ¾ ÑÜ ¸ Ò Ø Ä ÑÜ ÜÜ µºÌ Ü Ü¼ ¾ Ü Ü¼ µ Û Ñ Ý ×ÙÔÔÓ× Ü¾ Ü ¾ Ò º Ü Ü¼ µ ´ Ü Ü µ · ´Ü Ü ÓÖ ÒÝ µ· ´ · Ä· ×Ø× ÓÒØ Ò Ò ×Ó Á ÓÙÒ º µ Ñ Ì ¾ · Ø Äº Ò «¾ « «¼ ½ ¿ Ò «¼ ¿Ò ¾ ¸ ×Ó Ø × ÓÙÒ × Øº ×ÙÔ Ò½ Ò ½º Ë Ò Ü Ò ºÌ µ ËÙÔÔÓ× ´¼µ ÓÖ Ò ØÓ ÐÓ Ü ¾ ¿ ½ ×Ò Ò ´¼µ ´¼µ Ö Ú ½¸ ×Ó Ø × ½ ´¼µ ¸ Ü ×Ø× ¼ ÚÖ ÙØ × ×ÙÔÔÓ× ÓÒØ ÒÙÓÙ׸ Ø Ò Ò ´ ÐÐ Ø Òغ ؼ º Ò ´Øµ ÙØ ÒÓÛ ´µ Ø Ò ¡¾ ½ ؼ Ø Ø¼ Û Ò ´Øµ Ø Ò Ø Ø ×º ¼ ×Ó ´µ ÒØ ¼ ×Ù ½ ½ ¾ Ø ´ µ¸ ×Ó Ø ½ ¾ Û Ó × ÒÓØ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓº Ì × × ÑÔÓ×× Ð ¸ ×Ó Ò ÐÐ Û × ÚÖ µ Ò ºÁ «Ò ´ «Ò µµ ´« ¸ ´µ « «Ò ¾ × ÕÙ Ò ´ «Òµ ´«µ ¾ Ü Ò ×Ó ¸ ¼ × Ò Ý ½¸ Û Ò × ÚÒ × º Ü Ý¾ ÓÙÒ Ü ´ ÙØ × Ý¸ Ø Ò Ø Ý ´Ü Ý µµº Ò Ò ÚÖ ×¸ Ã˸ ¾ »½¼»¼½ Å ÌÊÁ ËÈ Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ ÈÊÇ Ä Å ËÀ Ì ¿¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× ½º ËÙÔÔÓ× Ò Ó × ÒÓØ Ø Ò ØÓ º Ì Ò ¯ ¼ Æ ¾ Æ Ò Æ ´ Ò µ ¯º ÓÓ× ¾ Æ ÓÓ× Ò Ò ½ ×Ù Ø Ø ´ Ò µ ¯º Ì Ò ´ Ò µ × Ò½ ½ ¸ Ò ÓÖ ×Ù × ÕÙ Ò Ó ´ Ò µ ÙØ Ú ÖÝ Ø ÖÑ Ò Ø ´ Ü ÔØ ÔÓ×× ÐÝ Ò½ µ × ×Ø Ò ¯ ÖÓÑ ¸ ×Ó Ø ÖØ ÒÐÝ ÓÒØ Ò× ÒÓ ×Ù × ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö Ò ØÓ º ¾º µ ÐÓ× ¸ ÒÓØ ÓÔ Ò µ ÓÔ Ò¸ ÒÓØ ÐÓ× ÓÖ Ò ØÓ Ø ¬Ò Ø ÓÒ µ ÓÔ Ò¸ ÒÓØ ÐÓ× µÒ Ø Ö µ ÐÓ× ÊÒ ´ ¿Ò ´ · ½µ ¿Ò µ Ò ¾Æ ½ ´ÑÓ ¿µ ÙØ ÒÓØ ÓÔ Ò¸ Ù× Ø Ò Ø ÒØÓÖ × Ø × Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ù× ÒÓ ÒØ ÖÚ Ð ×ÙÖÚ Ú × Ø ÔÖÓ ×× ÓÖ Ú Öº ¿º Ì Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÓÔ Ò × Ø׺ ¾Ò Ø Ò Ø Ó × ÒÓØ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø ×ÙÔ ÒÓÖѺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ò ´Øµ ¼ ×Ò ½ ÓÖ ÐРظ Ò Ø Ò ÖØ ÒÐÝ Ò ´Øµ ´Øµ Ù× Ò Ò Ò ´Øµ ´Øµ º ËÓ Ò Ú Ö ×º ºÁ Ò ´Øµ ¾ ¸ ×Ó ×ÙÔ ÒØ × Ò ÒØ ¼Ø½ ¾ ÓÖ ÐÐ Òº ËÓ ´ Ò µ ¥ ×Ø ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ Ø Ò ¥´ Ò Òµ ´ µ ¡ ¼ ´µ Ñ Ü ´ Ò µ ´ Ò µ ¼ ¼ ´µ ´Ò µ ¼Ò ´Ò µ º ÁØ × Ó Ú ÓÙ× Ø Ø ¼ × ×ÝÑÑ ØÖ ¸ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ¸ Ò Þ ÖÓ Ò ÓÒÐÝ Ü Ý ¸ ×Ó Û Ò ÓÒÐÝ Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð Øݺ ÓÓ× Ü Ý Þ ¾ Ò ÓÖ × ÑÔÐ ØÝ ÛÖ Ø ´Ü Ý µ ¸ ´Ý Þ µ ¸ ´Ü Þ µ ºÌ Ò · Ý Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÖ ¸ Ò Û Û ÒØ ØÓ × ÓÛ Ø Ø ·½ · ·½ ·½ º ËÙÔÔÓ× ¬Ö×Ø Ø Ø × ÒÓØ Ø Ð Ö ×Ø Ó Ø Ø Ö × × Ø Ò ÛÐÓ ÒÛ Ú ·½ Ò Ø Ö ÓÖ ½· ½ ½· ½ ·½ ÓØ Ö Ò¸ Ò ØÒ ½ ·½ ·½ ½Ò½ ·½ ·½ ·½ ×Ó ·½ · ·½ ½ ·½ ¸ ×Ó ·½ · ·½ º ÇÒ Ø · ·½ ·½ ·½ Ì × Ö Ñ Ò ½ ¾ º ÆÓØ ¾ ØØ ´Ü µ ½ º ËÙÔÔÓ× ¼ ¼ Ü Ö ¼ ¾ × ´ µº Ì ¼ ´Ü µ Ë Ê¸ Ò ¼ ´Ü µ ½ ¼ ´Ü µ ½ ¾ Ö ×Ó Ü ¾ Ö ´ µº Ó ÖØ ÓØ Ö Ö Ø ÓÒ × ÑÔÐÝ Ø ´Ü µ ¼ ´Ü µ ´Ü µ ʺ ½· ´Ü µµ Á Í × ¹ÓÔ Ò Ò Ü ¾ Í Ø Ò Ö ´Üµ Í ÓÖ ×ÓÑ ¼ ¹ÓÔ Ò¸ Ò ÓÒÚ Ö× Ðݺ ¼ ½ ÐÛ Ý× ×Ó ´ µ × ØÓÔÓÐÓ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ×Ò Ü ¾ Ê´ µ Ø Í Ò × Ö ¼ ×Ó Ø Ò ÓÙÒ × ´Üµ ¼ ×Ó Í Ñ ØÖ ×Ô ´ ¼µ Ø º × º º Ò × Ò ÓÔ Ò × Ø ÓÒØ Ò Ò Ò ¸ × Ò º ËÙÔÔÓ× Í × ÒÝ ÓÔ Ò × ÓÒØ Ò Ò Ò º Ì Ò Ò Í × ÐÓ× Ò ÓÒØ Ò× ¸ ×Ó Ø ÓÒØ Ò× ×Ó Í Ò ËÓ Ò ÁÒØ´ Ò µº Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ò ÁÒØ × ÐÓ× Ò ÓÒØ Ò× Ò º Á Ò × ÐÓ× Ø Ò Ò Ò ÓÔ Ò Ò ÓÒØ Ò Ò ¸ ×Ó Ò ÁÒØ ¸ ×Ó Ò ÁÒØ º À Ò Ò ÁÒØ Ã˸ ¾ »½¼»¼½ Å ÌÊÁ ËÈ Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ ÈÊÇ Ä Å ËÀ Ì Æ ¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× ½º Á ×Ó Ü ¾ Æ Ø ÒØ Ö º ¯ Ü ×Ø× Ø Ø ¯ ¯ ¼ ×Ù ¯ ´Üµ Ø Æ Ø ¯ ´Üµ Ƹ ×Ò × ÓÔ Òº ÙØ Æ ¯ ´Üµ ÁØ Ö Á Á Ü ×Ò ¼ ×Ù ¯ ´Üµ ØÒ Ø Ò ¯ ´Üµ × Ò ÓÔ Ò ×Ù × Ø Ó ÓÔ Ò ×Ù × Ø׸ Û Ü ÓÒØ Ò × Æº Ò Ò ÙØ º Ì Ö ÓÖ ¾ × ÓÒØ Ò ×Ò ÒØ ¼ ×Ù ÙØ Ü ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÐÐ ×Ù ÖØ ÒÐÝ ×Ò ¯ ¸ ×ÙÔÔÓ× Ø Ö ¸ ×Ó Ø ¯ ´Üµ ÓÒØ Ò× Ü ¾ Ò ¯ ´Üµ Òܾ Ò Û ×Ó Æ Æ Æ Æ Ü¾ ¾ º ¯ ´Üµ ¾Ò ¼ ×Ù ºÌ Ò Ø Ò ¯ ´Üµ × ÐÓ× ¯ ´Üµº × ÓÔ Ò¸ ×Ó Ø Ö º Ø ¯ ´Üµ Ò ØÒ ¾º µ µ µ Úµ Úµ ½ Úµ ¿º Æ ¯ ´Üµ ¸ ¸ ʾ ¸ ¸ ¸ · ݾ ¸ ʾ º º Ý ½¸ ܾ · ݾ ½º ܾ · ´Ý Ý ½µ¾ ½ ¸ ½ ¼¸ ½¸ Æ Ü¾ · ´Ý ½µ¾ º ½ Ý ¼¸ ܾ · ´ ½µ¾ ¼º ´¼ Ý µ Æ Ý Æ Æ ¸ Æ Ò Ò Ð×Ó × ÓÔ Ò ×Ó ¼ ½µ¸ ×Ù × Ø× Ó × ÐÓ× ´Ò ÀÓÛ Ú Ö¸ ØÓ ºÌ ÓÖ ÒÝ ×Ó º ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ó Ò Ê¸ Ø Ò ´ ÓÒØ Ò× µ × ÐÓ× ÐÓ× ×Ó¸ × Ò µÆ ´ ½ ½µ ÙØ ´ µÆ º Á Û Ø Æ Æ ´ ½ ¼ ´ ´ ½ ¼ ´¼ ½µº ØÓ × ÓÛ Ø µ Ò Ø º ×Ó Ø ÓÒØ Ò× ¸ ÙØ ÓÒ Û ÐÐ Óµº ÆÓØ Ø ÓÒØ Ò× ¸Ø ºÏ Ø Ø Ð×Ó Ò ´ ØÙ ÐÐÝ ÓÒØ Ò× º ËÓ Ø × ÕÙ Ð ½ ¾Ë ¾ Ƹ × Ø× × ÐÛ Ý× ÐÓ× × ÕÙ Ò ×Û ×Ó Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö º × ÐÓ× º ÓØ × ×Ò ×Ø ÐÑØÓ Ø ÜÒ ÜÒ·½ ÜÒ·¾ ½ Ë Ò Ò ¸ ÓÖ Ú ÖÝ Ò¸ Û ØÛ Ò º Ã˸ »½¾»¼½ Å ÌÊÁ ËÈ Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ ÈÊÇ Ä Å ËÀ Ì ¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× ½º ¯ Æ ÒÝ Æ Û ÐÐ Ó × Ò ´ ´Üµ ´Ý µµ ´Ô Ôµ ¼ Û ÓÒÚ Ö Ò Á Ò Ø Ò ´ Òµ Ô Ô ´ µº ½ ÇÔ Ò × Ø× Ô¾Í Ò ÓØ ÖÛ× Ò Ø × Ö ¯ Æ Ï Ò ÐÛ Ý× Ø Æ½ Ù× ´Ü Ý µ ½ Ø ´ ´Üµ ´Ý µµ ¼ ¯º ÓÒÚ Ö Ò Ø Ò Ø Ö × Ò Æ ×Ù Ø Ø Ò Ò ´ Òµ ´µ ´ µº ½ ´Í µ × ÖØ ÒÐÝ ÓÔ Ò ÇÔ Ò × Ø× Ù× ÐÐ ×Ù × Ø× Ó Ø ÚÖÜ Ò Ý Ö º ÓØ ÓÔ Òº Ò Ü Ý ×Ó ´Üµ ÓÖ Ò Ö ÓÔ Òº ´Ý µ ×Ó Æ¸ Ò Ø Ò ¾º µ × Ò Ø Û ÒÓÛ Ø Ø ´¼µ × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ñ Ô ×Ó Û Ò × Ý¸ ÓÖ Ò×Ø Ò ¸ ØØ Ø Ò Ò ´¼µ ´¼µ Ò ´Ò ´½µ ´½µ ×Ó ´ Ò µ Ò Ò ´¼µ Ò ´½µ ´¼µ ´½µ ´ µº µ ÇÒÐÝ × ÓØ ÓÔ Ò Ò ÐÓ× º Á Á × Ø Ò ØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ´×Ó Á ´Üµ ½ ܾ Ò Á ´Üµ ¼ Ü ¾ µ¸ Ø Ò Á ½ ´ ½ µ Ò Á ½ ´ ¼ µ Òº¼ Ò ½ Ö ÓØ ÓÔ Ò¸ ×Ó Á × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ò Ò Ò Ö ÓØ ÓÔ Ò¸ Ø Ø ×¸ × ÓÔ Ò Ò ÐÓ× º ÓÒÚ Ö× Ðݸ × ÓÔ Ò Ò ÐÓ× ¸ Ø Ò Á ½ ´Í µ × ¸ Ò ¸ ÓÖ ¸ ÐÐ Ó Û Ö ÓÔ Ò ´ Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö Í ¸ ¼ ¸ ½ ÓÖ ¼ ½ µº ËÓ Á × ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ Ò Ò ÐÓ Þ × ÝÓÙ Ó ÖÓÙÒ ­ ¸ µÌ × × Ô Ó ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ× × ­ ÞÞ × Ø Û × ÑÙÐØ ÔÐ Ó ¾ ´Ø Û Ò Ò ÒÙÑ Ö¸ Û´­ µµº ÁØ ÓÙÒØ× Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ × ­ Ó × ÖÓÙÒ Ø ÓÖ Òº Á ­Ò × × ÕÙ Ò Ó Ô Ø × Ò ­Ò ­ Ø Ò Ø × Ð Ö Ø Ð ×Ø ÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ø Ø Û´­Ò µ Û´­ µ¸ ×Ó Ø Ø Ø × ÙÒ Ø ÓÒ × Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ Ê ¼ ´ ´Üµ ´Ý µµ ´Ü Ý µ ×Ó Ü Ý º ¿º Á ´Üµ ´Ý µ Ø Ò ¼ ÐÐ Û Ú ØÓ Ó ØÓ Ø Ø Á×ÓÑ´ µ × ÖÓÙÔ × ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø × ÐÓ× ¸ Ø Ø ×¸ Ø ØØ ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ×ÓÑ ØÖ × × Ò ×ÓÑ ØÖݺ ÙØ Ò Ö ×ÓÑ ØÖ × Ø Ò ´ ´Üµ ´Ý µµ ´ ´ ´Üµµ ´ ´Ý µµµ ´ ´Üµ ´Ý µµ ´Ü Ý µº º Ĵܵ ÜÛ × ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ ÁØ³× ÓÑ ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ø³× ÒÚ ÖØ Ð ¸ Û × ØÖÙ Ò ÓÒÐÝ Ø Ñ ØÖ Ü ´ µ × ÒÚ ÖØ Ð ¸ º º Ò Ñ Ò Ø´ µ ¼º Ì ÒØ ØÝ Ñ Ô ´ ¼ ½ ¡ ½µ ´ ¼ ½ ¡ ½µ × ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ù× Ò ´Üµ ÒÜ Ø Ò Ò Ø Ò¬Ò ØÝ ÒÓÖÑ Û Ú Ò ½ ½ Û Ó × ÒÓØ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ ÙØ Ò Ø Ò ½ ÒÜ ½¹ÒÓÖÑ Ü ÒÜ Ò ½ ½ Ò ¼º ËÓ Ò ¼ ÙØ ´ Ò µ ¼º ½ ¼ ¼ È Ê Ã˸ »½¾»¼½ Å ÌÊÁ ËÈ Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ Ê ÎÁËÁÇÆ ËÀ Ì ½¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× ½º Ì ÐÓ×ÙÖ Ï Ó Ï Ò × Ï × ÐÓ× Ò ½ ´Ï µ × ÐÓ× Ù× × ÓÒØ ÒÙÓÙ׸ Ò Ø ÓÒØ Ò× ½ ´Ï µ ×Ó Ø ÓÒØ Ò× ½ ´Ï µº Á Ê ¾ ÓÒ× ×Ø× Ó Ø Ü ×¸ Ê Ò ´Ü Ý µ Ü Ø Ò Ø Ï Ê £ º Ì Ò ½ ´Ï µ × Ø Ü¹ Ü × ÙØ ½ ´Ï µ º Á Ê × ¬Ò Ý ´Üµ ´Ü Ï µ × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ º À Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Ï Ý ¾ ´Ý ϵ ¼ ¾º Ò ×ÓÑ ØÖÝ ÖÓÑ ØÓ × ÑÔ ×Ù Ø Ø ´ ´Üµ ´Ý µµ ´Ü Ý µ ÓÖ ÒÝ Ü Ý¾ ºÁ Ò Ö Ø Ú ×ÓÑ ØÖ × Ø Ò ´ ´ ´Üµµ ´ ´Ý µµ ½ Ø Ò ´Ü Ý µ ´ ´Üµ ´Ý µµ ×Ó Æ × Ò ×ÓÑ ØÖÝ Ò ´ ´ ´Üµµ ´ ´Ý µµ ´ ´Üµ ´Ý µµº À Ò Ø × Ø Á×ÓÑ ´ µ Ó Ø Ú ×ÓÑ ØÖ × ÖÓÑ ØÓ ÓÖÑ× ÖÓÙÔº Á × × Ö Ø Ñ ØÖ ×Ô Û Ø Ò Ó ÔÓ ÒØ× Ø Ò Á×ÓÑ ´ µ × Ø ×ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ ¾ ×Ø ËÒ º Á×ÓÑ ´ µº Á Ê ÙÒ Ø × Ø Ò Á×ÓÑ ´ µ ÓÒ× ×Ø× Ó ÐÐ ÖÓØ Ø ÓÒ׺ Á ½¾ Ê Û Ø Ø ×Ù ×Ô Ñ ØÖ Ø Ò Á×ÓÑ ´ µ ÓÒ× ×Ø× Ó ÓÒÐÝ Ø ÒØ Øݺ ¿º Ê Û Ø Ø º º ´ µÒ Ö´ µ Ö Ö¼ Ö¼ × Ö Ø Ñ ØÖ ´ ´ × ÒÓÒ¹× Ô Ö Ð Ñ ØÖ ×Ô º ¼ µ × ÓÔ Ò Ø ¼ µ¸ Û × Ö¼ ÐÐ× Ó ÒÓØ ÓÚ ÖÐ Ô¸ º º Ö · Ö¼ ´ ¼ µ¸ Ò ÓØ ÖÛ × Ò Ø Öº Ö· ´ Ñ ¼ µ¸ ÐÓ× ¯ ´ ÑÔØݵ Ò Ò½ Ò¾ Æ ÓÓ× Ñ Æ ×Ù Ø Ø ´Ò ÓÓ× Æ ×Ó Ð Ö Ø Ø ´ ѽ Ѿ µ ¯ ´ÔÓ×× Ð × Ò Ò× ´ Ò½ ѽ µ · ´ ѽ Ѿ µ · ´ Ѿ Ò¾ µ ¿¯º ¯ ÚÒ ÓÖ ½ ¾º Ð×Ó Ù Ýµº ÆÓÛ ´ Ò½ Ò¾ µ µ Ã˸ »½¾»¼½ Å ÌÊÁ ËÈ Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ ÈÊÇ Ä Å ËÀ Ì ¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× ½º µ Ò µ ÓÙÒ Ò ×× Ö ÐÝ µ ÁÒ Ø ØÓ Þ ÖÓº ËÓ Ò·½ Ò º ÓÙÒ ´Ù×Ù Ð Ñ ØÖ µ Ò × Ò ½º ÆÓØ Ù Ý ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ × Ò ´½ µ ½ ¼º Ù× Ò × Ð×Ó ÓÙÒ Ò ÒÒ º ÆÓØ Ò Ò Ò Ù Ý ÓÖ ÓÒÚ Ö Òظ º º Ò ´ ½µ Ò ½ Ò Ê º ʽ ½ ´ ÓÒ×Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓÒµ¸ Ù× ´ Ò ½µ ØÒ× Ò ¼ Ò ½ Ü ½ Ò Û ÓÒÚ Ö Òظ Ò Ð×Ó Ù Ý Ò ÓÙÒ º ¾º Ì ÙÒ Ø ÓÒ Ú¼ Ê Ú Ò Ý Ú´ µ ´¼µ × ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ ËÓ ¾ ¼ ½ ´¼µ ½ ´¼µ × ÐÓ× ¸ Ò Ø Ö ÓÖ ÓÑÔÐ Ø ¼ Ú¼ Ù× × ÓÑÔÐ Ø º ÙØ ½ Ò ´ ÓÒ×Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓÒµ Ø Ò Ò ¾ ¾ ¼ ½ ´¼µ ¼ Ò Ò ¼ ¾ ¾ ¼ ½ ´¼µ ¼ ¸ ×Ó ¾ ¼ ½ ´¼µ ¼ × ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø º Ò ¼ ¿º Á Ñ Ò Ø Ò Ò ¾ ÖÑ ´ Ñ µ ÖÒ·½ ´ Ò·½ µ ÖÑ ´ Ñ µº ËÓ ´ Ò Ñ µ ÖÒ ×Ó ´ Ò µ × Ù Ýº ËÓ Ø × ÓÒÚ Ö Òظ × Ý Ò ºÌÒ × Ð×Ó Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ×Ù × ÕÙ Ò Ó Ò Û Ò× Ø Ñ ´×Ó Ò ·Ñ ½ µ¸ Ò Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó Ø × × ÕÙ Ò Ì½ × ÒØ ÐÓ× × Ø ÖÑ ´ Ñ µ ×Ó ¾ ÖÑ ´ Ñ µ ÓÖ Ú ÖÝ Ñº À Ò Ò ½ ÖÒ ´ Ò µº ºÁ Ñ ½ È ÖÒ ½ ´ Ò½ È Ò Ò·½ µ ½Ø Ò Ú Ò¯ ¼Ø Ö Ü ×Ø× Æ ×Ù Ø Ø ÓÖ Ò Ñ Æ Û Ú ØÒ ´ Ö Ö·½ µ ¯º ËÓ ´ Ò µ × Ù Ýº Á ´ Òµ × Ù Ý × ÕÙ Ò ¸ ÓÓ× Ò ×Ù Ø Ø Ò Ò ½ Ò ½ ½ È È ´ Ò Ñ µ ¾ º Ì Ò ´ Ò Ò ·½ µ ¾ ½º ½ ½ Á ÐÐ × ÕÙ Ò × Û Ø Ø × ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö Ø Ò Ø ×Ù × ÕÙ Ò ´ Ò Ù Ý × ÕÙ Ò × ÓÒÚ Ö ÒØ ×Ù × ÕÙ Ò Ø ÓÒÚ Ö ×¸ ×Ó ´ Ò µ ½ È ÓÑÔÐ Ø º ÓÒÚ Ö× Ðݸ × ÓÑÔÐ Ø Ò ´ Ò Ò·½ µ ½ Ø Ò ´ Ò½ ÓÒÚ Ö ×º º µ ÌÜ ÌÝ Ì ´Ü Ý µ ×ÓÑ ½º ÁÒ Ø × × Ì Ü ÓÒØÖ Ø ÓÒº µ ׸ Ù× Ø × Ñ ØÖ Ü × Ü ÔØ Ø ÓÓÖ Ò Ø ×º µ ÆÓ¸ Ù× Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ø ÖØ Ò½ × ×Ù Ò ×Ó Ø³× ÒÓØ ÓÒØÖ Ø ÓÒº ×Ó Û Û ÒØ ØÓ ÒÓÛ Û Ø Ö Ì Ü ¾ ½ ܽ ¾ · ½ ܾ ¾ ´ ܽ ¾ · ܾ ¾ µ ÓÒ Ù Ø ´× Ñ Ð Öµ ØÓ Ø ÒÑ Ò µ ÓÒÚ Ö × º Á ÓÒÚ Ö ×¸ ×Ó × Ù Ý ×Ó Ø Òµ × Ü ÓÖ ÐÐ Ü Ò ½ Ü ¾ ¸ ×Ó Ø³× × Ò ÓÒ Ò ´ µ ×Ó ÒÓØ Ò ÒØ × ¾¾ ¾½ ×Ó ÓÒ Ó Ø ÒÚ ÐÙ × ÑÙ×Ø ÒÚ ÐÙ Ò Ü × Ò ÒÚ ØÓÖ Ø Ò Ì Ü Ú ÑÓ ÙÐÙ× Ü Ü Úµ ÆÓ¸ º Ì Ñ Ô Ì ´Üµ Ü ¾ ÓÒ £ × ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÙØ × ÒÓ ¬Ü ÔÓ Òغ Ì ÊÒ ´Ý µ × Ø ÔÓ× Ø Ú ÖÓÓØ Ó Ý ´Ü Ý µ ½ ´×Ó Ø Ö Ô Ó Ý × ÝÔ Ö ÓÐ Û Ø Ü Ý × Ò ×ÝÑÔØÓØ µº ¼ Ö ¬Ü ÔÓ ÒØ× Ò ¼ Ø Ò ´ ¼µ ÆÓ ´ ´ µ ´ ¼µµ ´ ¼µ Û × ÑÔÓ×× Ð º Ü ´ µ ´ µ ´Øµ ´Øµ Ø º ÊÜ Á ´µ Ø Ò ´Üµ · ´Øµ Ø ´Üµ Ò Û ÔÖ Ø Ò Û Ò « Ö ÒØ Ø Ø × Û Ø ¼ ´Üµ · ´Üµ ¼ ´Üµº ËÓÐ Ò Ø × ´ Ø³× Ó ÒØ Ö Ø Ò Ø « Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ØÓÖ ØÝÔ µ Ú× Ü ´Üµ ´Üµ · Ü ´Øµ Ø Ø Ù× Ð Ñ × Ò Ü Ü¼Ü ½º º Ê ÙÔ ØÓ ÓÒ×Ø Òظ Ò Ø × ×ÓÐÚ × Ø ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ê Ì Ì ´ µ ½ ¼Ü × Ò´Ü Øµ ´Øµ غ Ì Ò Ì × ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ñ ÔÔ Ò ´ Ò ¼ × ¬Ü Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÓÒÐÝ ÓÒ µ¸ Ù× Ì´ ÔÓ ÒØ µ ­ ½­ Ü ­ ½ ½ ½ ­ ­ ­ ­ ­ ¼ ¼ × Ò´Ü Øµ ´Øµ × Ò´Ü Øµ ­ ­ ­ ­ ¬ ¬ ج ¬ Ü ´Øµ ´Øµ Ü ¾ ¼ ¼ × Ò´Ü Øµ Ø ­ ­ Ø­ ­ ¬ ¬ ج ¬ × Ò´Ü Øµ Ã˸ »½¾» Å ÌÊÁ ËÈ Ë ´Å ÌÀ¼¼ ½µ ÈÊÇ Ä Å ËÀ Ì ¸ ËÓÐÙØ ÓÒ× ½º µ ÆÓØ ÓÑÔ Ø × Ø³× ÒÓØ ÐÓ× ¸ Ò ÒÓØ ÓÒÒ Ø Ò ×ÓÙØ ÖÒ Ñ ×Ô Ö × ´Ü Ý Þµ Ü ¾ × Ø ×Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÒÓÖØ ÖÒ · ݾ · Þ¾ ½ Þ ¼ ´Ü Ý Þµ Ü ¾ · ݾ · Þ¾ ½ Þ ¼ µ ÆÓØ ÓÑÔ Ø ÙØ ÓÒÒ Ø º µ ÆÓØ ÓÑÔ Ø ´ Ø³× ÒÓØ ÓÙÒ µ Ò ÒÓØ ÓÒÒ Ø × Ø ×ÔÐ Ø× ÒØÓ Ü ¼ Ò Ü ¼ Ô ÖØ׺ Úµ ÓÑÔ Ø × Ø × ÐÓ× ÓÙÒ ×Ù × Ø Ó Ê ÙØ Ó Ú ÓÙ×ÐÝ × ÓÒÒ Ø ´×ÔÐ Ø Ø ÒØÓ Ü ¿ ¾ Ò Ü ¿ ¾µº Úµ ÆÓØ ÓÑÔ Ø Ù× Ø³× ÒÓØ ÐÓ× º ÆÓØ ÓÒÒ Ø Ù× ´ ½ ½ µ ´½ ½µº ¾º Á ´ µ ¼Ø Ò Ò¾ ×Ù Ø Ø ´ Ò Ò µ ½ Òº ´ Ò µ × ÓÒÚ Ö ÒØ Ò¾ ×Ù × ÕÙ Ò Ò ´Ò µ ´ Ò Òµ· ´ Ò µ ¯ ×ÐÖ ÒÓÙ º ËÓ Ò ×Ó ¾ × Ò × ÐÓ× º ËÓ º Ò Á Ò Ö ÓØ ÓÑÔ Ø Ò ´ µ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø × ÕÙ Ò × ´ Ò µ¸´ Ò µ ×Ù Ø Ø ´ Ò Òµ · ½ Òº ÓÓ× ÓÒÚ Ö ÒØ ×Ù × ÕÙ Ò ´ Ò µ Ó ´ Ò µ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ×Ù × ÕÙ Ò Ó Ò ¸ Û Ø Ð Ñ Ø× Ò ºÌ Ò ´ µ ´ Ò µ· ´ Ò Ò µ· Ò ´Ò µ ·¯ ×Ð Ö ÒÓÙ º ËÓ ´ µ º ¿º ÇØ ÖÛ × ½ Ò Ò × Ò ÓÔ Ò ÓÚ Ö Ó ½ Û × ÒÓ ¬Ò Ø ×Ù ÓÚ Öº º ÆÓ¸ º º Ê Ê Ý ´Üµ ¼¸ ¼ ¸ Û Ò ½ ´ µ ½ ´ µ × ÓÑÔ Ø Ù× Ø × ÐÓ× º ºÌ ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ× ÓÖÑ Ê º ÙØ × ÓÑÔ Ø Ø Ò ÓÚ Ö Û Ø ÒÓ ¬Ò Ø ×Ù ÓÚ Öº ºÁ ¼ ½ × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ò × ÓÒ×Ø ÒØ ÓÒ ¸ × Ý ´Ý µ ¼ ÓÖ ÐÐ Ý ¾ º ËÒ × Ò× ¸ ÓÖ Ú ÖÝ Ü ¾ Ø Ö × × ÕÙ Ò ÝÒ Ü Û Ø ÝÒ ¾ º ËÓ ´Üµ Ð Ñ ´ÝÒ µ ¼º Ã˸ »½¾»¼½ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online