PM-2011-2-new-handout

PM-2011-2-new-handout - Programao Matemtica AULA 2...

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Programação Matemática AULA 2 Universidade de Aveiro 2010/2011 http://elearning.ua.pt
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Rectas e segmentos. Recta. Sejam x 1 , x 2 R n . Todos pontos de R n na forma y = θ x 1 + ( 1 - θ ) x 2 , com θ R , formam uma recta que passa pelos pontos x 1 e x 2 . Aqui y é uma combinação linear (afim) de pontos x 1 e x 2 . Segmento de recta. Sejam x 1 , x 2 R n . Os pontos de R n na forma y = θ x 1 + ( 1 - θ ) x 2 , com θ [ 0 , 1 ] formam um segmento de recta entre pontos x 1 e x 2 . Aqui y é uma combinação linear convexa de pontos x 1 e x 2 . Observação. O valor θ pode ser considerado como um parâmetro.
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Conjuntos Afins. Ao conjunto C R n chama-se conjunto afim se para todos pontos x 1 , x 2 C e para cada θ R , está satisfeito: θ x 1 + ( 1 - θ ) x 2 C . Observação 1. Esta definição pode ser generalizada para um número finito de pontos de C . Observação 2. Evidente, conjunto afim contem todas rectas que passam pelo cada par dos seus pontos. Exemplo. Conjunto solução do sistema de equações lineares C = { x : Ax = b } , onde A R m × n , b R m . O subespaço associado com conjunto affim C é null ( A ) . Nota. Inverso: cada conjunto afim pode ser representado como conjunto solução de um sistema de equações lineares.
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Conjuntos afins. Propriedade. Se C é afim, e x 0 C , então o conjunto V := C - x 0 = { x - x 0 , x C } é um subespaço (conjunto fechado em relação de soma e multiplicação por escalar.) Dimensão do conjunto afim C é dimensão do subsepaço V := C - x 0 para cada x 0 C .
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Conjuntos afins. Invólucro afim: Aff ( S ) – conjunto de combinações afins de todos pontos de uma conjunto S R n . Interior relativo: Se S R n , S 6 = R n , então relint ( S ) := { x S : B ( x , r ) \ Aff ( S ) S para algum r > 0 } . Aqui B ( x , r ) = { y : || y - x || ≤ r } é uma bola fechada com centro em x e raio r > 0; || · || é uma norma qualquer. Fronteira relativa: relfr ( S ) := cl ( S ) \ relint ( S ) , onde cl ( s ) é fecho de S .
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Exemplo Um quadrado plano em R 3 dado por S := { x R 3 : - 1 x 1 1 , - 1 x 2 1 , x 3 = 0 } . Interior: int ( S ) = ; Fronteira: fr ( S ) = S ; Invólucro afim: Aff ( S ) = { x R 3 : x 3 = 0 } ; Interior relativo: relint ( S ) = { x R 3 : - 1 < x 1 < 1 , - 1 < x 2 < 1 , x 3 = 0 } ; Fronteira relativa: relfr ( S ) = { x R 3 : max ( | x 1 | , | x 2 | ) = 1 , x 3 = 0 } .
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Definição. Ao conjunto S R n chama-se conjunto convexo se para cada x S , y S e para cada θ R : 0 θ 1 está satisfeito: θ x + ( 1 - θ ) y S . Observação.
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This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATH 1016 taught by Professor Rotar during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

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