PM-2011-3-new-handout

PM-2011-3-new-handout - Programação Matemática AULA 3...

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Unformatted text preview: Programação Matemática AULA 3 Universidade de Aveiro 2010/2011 http://elearning.ua.pt Cone próprio Definição. Seja cone K ⊂ R n . Se K é conjunto convexo; K é conjunto fechado (contem a sua fronteira); int ( K ) 6 = ∅ ( K é conjunto sólido); K não contem rectas (se x ∈ K e- x ∈ K , então x = 0), então ao K chama-se cone próprio . Exemplos. O ortante não negativo R n + = { x ∈ R n : x i ≥ , i = 1 , 2 ,..., n } Cone demidefinido positivo S n + Cone dos polinómios não negativos em [ , 1 ] : K := { x ∈ R n : x 1 + x 2 t + x 3 t 3 + ... x n t n- 1 ≥ 0 para t ∈ [ , 1 ] } . Ordenação partial com desigualdades generalizadas Seja K um cone próprio em R n , x , y ∈ R n . Vamos introduzir as seguintes desigualdades geradas pelo K : 1 . x K y ⇔ y- x ∈ K . 2 . x ≺ K y ⇔ y- x ∈ int ( K ) Exemplos. Desigualdade pelas componentes. Caso K = R n + : x K y ⇔ x i ≤ y i , i = 1 , 2 ,..., n . Desigualdade matricial. Caso K = S n + : X K Y ⇔ X- Y ∈ S n + . Desigualdades generalizadas Observação. As propriedades de desigualdades generalizadas são muito semelhantes às propriedades de ≤ em R . Exemplo. x K y , u K v ⇒ ( x + u ) K ( y + v ) . Algumas propriedades de K Se x K y e u K v , entaõ x + u K y + v Transitividade: se x K y e y K z , entaõ x K z Se x K y e α ≥ 0, entaõ α x K α y Reflexividade: x K x Antisimmetria: se x K y e y K x , então x = y Se para todo i ∈ N : x i K y i e lim i →∞ x i = x , lim i →∞ y i = y então x K y Algumas propriedades de ≺ K Se x ≺ K y , entaõ x K y Se x ≺ K y e u K v , entaõ x + u ≺ K y + v Se x ≺ K y e α > 0, entaõ α x ≺ K α y x ⊀ K x se x ≺ K y , então para u e v pequenos x + u ≺ K y + v Elementos mínimo e minimal Notemos que a operação K não é operação de ordenação linear: podemos ter em simultáneo x K y e y K x . Entretanto podemos definir os elementos mínimo e minimal em relação de K . Seja S ⊂ R n e x ∈ S ....
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This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATH 1016 taught by Professor Rotar during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

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