PM-2011-4-new-handout

PM-2011-4-new-handout - Programação Matemática AULA 4...

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Unformatted text preview: Programação Matemática AULA 4 Universidade de Aveiro 2010/2011 http://elearning.ua.pt Funções convexas e côncavas Definição. Seja f : R n → uma função com domínio D f convexo em R n . Se para todo x , y , ∈ D f e todo θ ∈ [ , 1 ] está satisfeito : f ( θ x + ( 1- θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1- θ ) f ( y ) , ( * ) então f é uma função convexa em D f . Quando a desigualdade em ( * ) é estrita: f ( θ x + ( 1- θ ) y ) < θ f ( x ) + ( 1- θ ) f ( y ) , ( ** ) , à função f chama-se estritamente convexa . À função g chama-se côncava em D g se- g é convexa neste domínio. Desigualdade de Jenssen Se f é convexa, então f ( x + y 2 ) ≤ f ( x ) + f ( y ) 2 . Generalizações da desigualdade: 1 f ( θ 1 x + θ 2 y ) ≤ θ 1 f ( x )+ θ 2 f ( y ) , com θ 1 ,θ 2 ≥ , θ 1 + θ 2 = 1 . 2 f ( n X i = 1 θ i x i ) ≤ n X i = 1 θ i f ( x i ) , com θ i ≥ , n X i = 1 θ i = 1 . 3 f ( R xp ( x ) dx ) ≤ R f ( x ) p ( x ) dx com p ( x ) ≥ , R p ( x ) dx = 1 . Extenção infinita duma função Definição 1. Seja f : D f → R . A extenção infinita positiva ˜ f + de f é uma função dada por ˜ f + ( x ) = f ( x ) se x ∈ D f , ˜ f + ( x ) = ∞ se x / ∈ D f . Se f é convexa em D f ∈ R n , então ˜ f + é covexa em R n . Definição 2. Seja f : D f → R . A extenção infinita negativa ˜ f- de f é uma função dada por ˜ f- = f ( x ) se x ∈ D f , ˜ f- =-∞ se x / ∈ D f . Se f é côncava em D f ∈ R n , então ˜ f- é côncava em R n . Extenção infinita duma função Observação. A extenção usa-se, por exemplo, para simplificar a notação. Por exemplo, a expressão ≤ θ ≤ 1 ⇒ ˜ f + ( θ x + ( 1- θ ) y ) ≤ θ ˜ f + ( x ) + ( 1- θ ) ˜ f + ( y ) considerada em R S {∞} siginifica que as duas condições estão satisfeitas: D f é conjunto convexo; para todo x , y ∈ D f está satisfeito: ≤ θ ≤ 1 ⇒ f ( θ x + ( 1- θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1- θ ) f ( y ) . Conjunto de subnivel e epigrafo Definição. Seja f : R n → R e α ∈ R . O conjunto de subnivel de f é dado por S α = { x ∈ D f : f ( x ) ≤ α } . O conjunto de sobrenivel de f é dado por S α = { x ∈ D f : f ( x ) ≥ α } . Propriedade. 1. Se f : R n → R é função convexa , então para todo α ∈ R o conjunto de subnivel S α correspondente, S α é convexo. 2. Se f : R n → R é função côncava , então para todo α ∈ R o conjunto de sobrenivel correspondente, S α é convexo. Epigrafo Dada função f , ao conjunto Epi ( f ) := { ( x , t ) ∈ R n + 1 : f ( x ) ≤ t , x ∈ D f } chama-se epigrafo de f . Teorema Supomos que o conjunto X é convexo em R n . A função f : X 7→ R é convexa se e somente se o conjunto Epi ( f ) é convexo em R n + 1 . Identificação das funções convexas Questão: Dada uma função, como verificar se esa é convexa/concava? Propriedades de funções convexas diferenciáveis Teorema 1 Seja f ∈ C ( 1 ) ( X ) , onde conjunto X é convexo em R n . A função....
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